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曲率半径 (curvature and radius of curvature)

曲率 (curvature) は,曲線上のある点におけるその曲線の曲がり具合を示す指標であり,その曲率の逆数が 曲率半径 (radius of curvature) を表す.曲線上の任意の点付近の曲線の微小部分は,その点での曲率半径を半径とする円(曲率円(curvature circle)という)で近似できる.曲率半径が大きいと曲がり具合が緩く,曲率半径が小さいと曲がり具合がきつくなる.したがって,曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる.

■ 曲率半径の定義




JSXGraph Copyright (C) see http://jsxgraph.org

曲率円の例(点Pを動かしてみよう)

xy 平面で定義された曲線 y=f(x) 上の点 P ( x0 , y0 ) から曲線に沿って Δs だけ変位した点を Q とする.この Δs 部分を円弧とみなし,その円の中心を点 C ,角PCQを Δα とすると,この円の半径は

R= | Δs Δα |

である(絶対値をとっているのは角 Δα が時計回りの場合,負の値となるからである).ここで,極限 Δs0 をとると,点 P における曲率半径

R= lim Δs0 | Δs Δα | = | ds dα |

が求まる.点 P における曲率 κ は曲率半径 R の逆数なので次式となる.

κ= 1R = | dα ds |

ただし,絶対値をとらずに曲率を定義する場合もあり(符号付き曲率 (signed curvature) ),曲率の値は正にも負にもなる.この場合,その符号は微小角度 dα の向きを表し,正のとき反時計回りの向き,負のとき時計回りの向きを示す.

■ 曲線 y=f(x) の曲率半径

図に示すように,点 P での接線と x 軸とのなす角を α とすると,点 Q での接線と x 軸とのなす角は α+Δα となるので,角PCQは点 P から点 Q の接線の角度の増分に対応する.点 P での接線の傾きは

tanα= dy dx

なので,

(tanα ) dα= ( dy dx ) dx     ⇒     dα cos2 α = d2y dx2 dx     ⇒     dα= cos2α d2y dx2 dx = 1 1+tan2α d2y dx2 dx

となり,最終的に

dα= d2y dx2 1+ ( dydx ) 2 dx

を得る.また,

ds= (dx)2 + (dy)2 = 1+ ( dydx ) 2 dx

であるので,曲率半径 R x の関数として

R(x)= | ds dα | = | 1+ ( dy dx ) 2 1+ ( dy dx ) 2 d2y dx2 | = { 1+ ( dydx ) 2 } 32 | d2y dx2 |

と求まる.点 P では x= x0 なので,点 P における曲率半径は R(x0) である.

また,曲率中心 (center of curvature)(点 P 付近の曲線を近似する円の中心)C の座標 ( cx , cy ) は次式で求まる.

( cx , cy ) = ( x0 , y0 ) + ds dα ( dy ds , dx ds ) =( x0 , y0 ) + ( dy dα , dx dα ) =( x0 , y0 ) + 1+ ( dydx ) 2 d2y dx2 ( dydx , 1 )


■ パラメータ表示された曲線 x=x(t) , y=y(t) の曲率半径(導出)

曲率半径  R(t)= { ( dxdt ) 2 + ( dydt ) 2 } 32 | dxdt d2y dt2 dydt d2x dt2 |

曲率中心  ( cx , cy ) = ( x(t) , y(t) ) + ( dxdt ) 2 + ( dydt ) 2 dxdt d2y dt2 dydt d2x dt2 ( dydt , dxdt )


■ 陰関数表示された曲線 F(x,y) =0 の曲率半径(導出)

曲率半径  R(x,y) = ( Fx2 + Fy2 ) 32 | detM |

曲率中心  ( cx , cy ) = ( x,y ) + Fx2 + Fy2 detM ( Fx , Fy )

ここで,行列 M は 3×3の正方行列

M = ( 0 Fx Fy Fx Fxx Fxy Fy Fyx Fyy )

であり,

Fx = F x Fy = F y Fxx = 2F x2 Fxy = 2F yx Fyx = 2F xy Fyy = 2F y2

である.


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