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点(x0,y0)から直線 ax+by+c=0への垂線の長さ(言い換えると 点 (x0,y0)と直線 ax+by+c=0との距離)は
|ax0+by0+c|√a2+b2
となる.
直線ℓと点P の距離を求める.
直線 ℓの方程式はax+by+c=0で, 点P′の座標は (x0,y0)で ある. 点Pから直線 ℓに垂線を下ろし,直線ℓとの交点をHとする. 線分PHの長さが直線ℓと点Pの距離である.(図1)
計算を簡単にするために,点Pと直線ℓをx軸方向に−x0,y軸方向に −y0 平行移動し,点 Pを原点に重ねる. 直線ℓは,平行移動により
a(x+x0)+b(y+y0)+c=0・・・・(1)
で表わされる直線ℓ′に移る. また,点Hは点H′に移る.(図2)
平行移動しただけであるので
OH=OH′
である.
直線ℓ′とx軸の交点をQとする. 直線ℓ′の傾きと等しく
ax+by+c=0
by=−ax−c
y=−abx−cb
より,−abである.
線分OH′⊥ℓ′ より線分OH′の傾きをmとすると
m(−ab)=−1 (垂直に交わる条件を参照)
となり
m=ba
となる.
よって,線分OH′に平行なベクトルを→aとすると
→a=(a,b)
である.
→aと→OQのなす角をθとすると
OH′=OQcosθ・・・・(2)
となる.→aが→OHと逆向きの場合もある(図3).その場合
OH′=OQcos(180∘−θ)
=OQ(−cosθ)・・・・(3)
となる.よって(2),(3)より
OH′=OQ|cosθ|
となる.
点Qの座標を求める.(1)において,y=0より
a(x+x0)+by0+c=0
a(x+x0)=−by0−c
x+x0=−bay0−ca
x=−x0−bay0−ca
よって点Qの座標は
(−x0−bay0−ca,0)
である.
cosθ=⟶a⋅⟶OQ|⟶a||⟶OQ|
⟶OQ=(−x0−bay0−ca,0)
OQ=|⟶OQ|
より
OH′=|→OQ||→a⋅→OQ|→a||→OQ||=|→a⋅→OQ||→a|=|(a,b)⋅(−x0−bay0−c,0)||(a,b)| =|ax0+by0+c|√a2+b2
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最終更新日: 2023年2月22日