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応用分野: 垂線の長さ (点と直線の距離)

垂線の長さ(点と直線の距離)その2

(x0,y0)から直線 ax+by+c=0への垂線の長さ(言い換えると 点 (x0,y0)と直線 ax+by+c=0との距離)は

|ax0+by0+c|a2+b2

となる.

■導出計算

直線と点P の距離を求める.

直線 の方程式はax+by+c=0で, 点Pの座標は (x0,y0)で ある. 点Pから直線 に垂線を下ろし,直線との交点をHとする. 線分PHの長さが直線と点Pの距離である.(図1)

計算を簡単にするために,点Pと直線x軸方向にx0y軸方向に y0 平行移動し,点 Pを原点に重ねる. 直線は,平行移動により

a(x+x0)+b(y+y0)+c=0・・・・(1)

で表わされる直線に移る. また,点Hは点Hに移る.(図2)

平行移動しただけであるので

OH=OH

である.

直線x軸の交点をQとする. 直線の傾きと等しく

ax+by+c=0

by=axc

y=abxcb

より,abである.

線分OH より線分OHの傾きをmとすると

m(ab)=1  (垂直に交わる条件を参照)

となり

m=ba

となる.

よって,線分OHに平行なベクトルをaとすると

a=(a,b)

である.

aOQのなす角をθとすると

OH=OQcosθ・・・・(2)

となる.aOHと逆向きの場合もある(図3).その場合

OH=OQcos(180θ)

=OQ(cosθ)・・・・(3)

となる.よって(2),(3)より

OH=OQ|cosθ|

となる.

Qの座標を求める.(1)において,y=0より

a(x+x0)+by0+c=0

a(x+x0)=by0c

x+x0=bay0ca

x=x0bay0ca

よって点Qの座標は

(x0bay0ca,0)

である.

cosθ=aOQ|a||OQ|

OQ=(x0bay0ca,0)

OQ=|OQ|

より

OH=|OQ||aOQ|a||OQ||=|aOQ||a|=|(a,b)(x0bay0c,0)||(a,b)| =|ax0+by0+c|a2+b2

別解

 

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最終更新日: 2023年2月22日

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