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必要十分条件

●命題「 ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ 」が真であるとき

${\displaystyle P}$ を ${\displaystyle Q}$ であるための十分条件

${\displaystyle Q}$ を ${\displaystyle P}$ であるための必要条件

という．

●命題「 ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ 」，「 ${\displaystyle Q\Rightarrow P}$ 」が共に真であるとき

${\displaystyle P}$ が意味することと， ${\displaystyle Q}$ が意味することは同じになり， ${\displaystyle P}$ と ${\displaystyle Q}$ は同値であるといい

${\displaystyle P\iff Q}$

と表す．

(1)  命題「 ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ 」が真より， ${\displaystyle Q}$ は ${\displaystyle P}$ であるための必要条件になる．

(2) 命題「 ${\displaystyle Q\Rightarrow P}$ 」が真より， ${\displaystyle Q}$ は ${\displaystyle P}$ であるための十分条件になる．

(1)，(2)より，${\displaystyle Q}$ は ${\displaystyle P}$ であるための必要条件であり，かつ，十分条件であるので

${\displaystyle Q}$は${\displaystyle P}$ であるための必要十分条件

という．同様に考えると

${\displaystyle P}$は${\displaystyle Q}$ であるための必要十分条件

ともいえる．

例えば，「ある数が ${\displaystyle 4}$ で割り切れる」ための必要十分条件は「ある数が ${\displaystyle 4}$ の倍数である」ことである．

${\displaystyle P}$ が ${\displaystyle Q}$ であるための必要十分条件であることを示すには，「 ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ 」と「 ${\displaystyle Q\Rightarrow P}$ 」が共に真であることを証明すればよい．

命題「 ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ 」が真であるとき，その逆の命題「 ${\displaystyle Q\Rightarrow P}$ 」が真であるとは限らない．

例えば，「 ${\displaystyle 4}$ の倍数ならば偶数である」という命題は正しく真であるが，その逆の命題である「偶数ならば ${\displaystyle 4}$ の倍数である」は偶数である ${\displaystyle 6}$ は ${\displaystyle 4}$ の倍数ではなく，正しくないので偽である．

 

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最終更新日 2025年11月28日

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