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関数の極限値の性質

limxaf(x)limxag(x) が存在するとき,次式が成り立つ.

  1. limxa{f(x)+g(x)}=limxaf(x)+limxag(x)  証明
  2. limxacf(x)=climxaf(x)      (c :定数)  証明
  3. limxa{f(x)g(x)} =limxaf(x)limxag(x)   証明
  4. limxaf(x)g(x)=limxaf(x)limxag(x)       (limxag(x)0 )   証明

上記の性質を証明するには,ε-δ論法による極限の定義を使うことになるので,ε-δ論法による極限の定義を以下に述べる

■定義

aの近くで定義された関数f(x)において,任意の正数ε に対して,適当な正の数δ があって,

0<|xa|<δのすべてのx について|f(x)b|<ε

となるならば,これを

xaのときf(x)bあるいはlimxaf(x)=b

とかき,bxaのときの極限値という

引用元:田島一郎,イプシロン・デルタ.共立出版,1978年,p2

●定義の解説

0<|xa|<δより,xaに限りなく近づいた値も含まれることになる.このときでも|f(x)b|<εが成り立たなければならない.また,εは任意の正数なので,ε0に限りなく近い場合も含まれる.この場合,f(x)は限りなくbに近づくことになる.

よって

0<|xa|<δのすべてのx について|f(x)b|<εとなる

という表現と

xaのときf(x)bあるいはlimxaf(x)=b

は,同じことである.

 

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最終更新日 2023年12月19日

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