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limx→af(x) ,limx→ag(x) が存在するとき,次式が成り立つ.
上記の性質を証明するには,ε-δ論法による極限の定義を使うことになるので,ε-δ論法による極限の定義を以下に述べる
aの近くで定義された関数f(x)において,任意の正数ε に対して,適当な正の数δ があって, 0<|x−a|<δのすべてのx について|f(x)−b|<ε となるならば,これを x→aのときf(x)→bあるいはlimx→af(x)=b とかき,bをx→aのときの極限値という 引用元:田島一郎,イプシロン・デルタ.共立出版,1978年,p2 |
0<|x−a|<δより,xはaに限りなく近づいた値も含まれることになる.このときでも|f(x)−b|<εが成り立たなければならない.また,εは任意の正数なので,εは0に限りなく近い場合も含まれる.この場合,f(x)は限りなくbに近づくことになる.
よって
0<|x−a|<δのすべてのx について|f(x)−b|<εとなる
という表現と
x→aのときf(x)→bあるいはlimx→af(x)=b
は,同じことである.
最終更新日 2023年12月19日