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関数の極限値の性質の証明（積の極限）

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)}$ ，${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)}$ が存在するとき，次式が成り立つ．

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\left\{f\left(x\right)g\left(x\right)\right\}=\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)\cdot \underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)}$

■証明

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)}$，${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)}$ が存在することより

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\alpha }$，${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=\beta }$

とする．言い換えると以下のようになる．

任意の正数$\epsilon$ に対して，適当な正の数$\delta$ があって

$0<\left|x-a\right|<\delta$のすべての$x$ について${\displaystyle \left|f\left(x\right)-\alpha \right|<\epsilon }$，${\displaystyle \left|g\left(x\right)-\beta \right|<\epsilon }$となる

上記前提の下で

${\displaystyle \left|f\left(x\right)g\left(x\right)-\alpha \beta \right|}$

${\displaystyle =\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-\alpha g\left(x\right)+\alpha g\left(x\right)-\alpha \beta \right|}$

${\displaystyle =\left|\left(f\left(x\right)-\alpha \right)g\left(x\right)+\alpha \left(g\left(x\right)-\beta \right)\right|}$

三角不等式の関係より

${\displaystyle \leqq \left|\left(f\left(x\right)-\alpha \right)g\left(x\right)\right|+\left|\alpha \left(g\left(x\right)-\beta \right)\right|}$

${\displaystyle =\left|g\left(x\right)\right|\left|f\left(x\right)-\alpha \right|+\left|\alpha \right|\left|g\left(x\right)-\beta \right|}$

${\displaystyle =\left\{\left|g\left(x\right)\right|+\left|\alpha \right|\right\}\epsilon }$

${\displaystyle <\left|g\left(x\right)\right|\epsilon +\left|\alpha \right|\epsilon }$

${\displaystyle \leqq \left\{\epsilon +\left|\beta \right|+\left|\alpha \right|\right\}\epsilon }$　･･････(1)

となる．

${\displaystyle \left\{\epsilon +\left|\beta \right|+\left|\alpha \right|\right\}\epsilon ={\epsilon }^{\prime }}$ とおくと，(1)は

${\displaystyle \left|f\left(x\right)g\left(x\right)-\alpha \beta \right|<{\epsilon }^{\prime }}$

となる．$\alpha$ ，$\beta$は有限な値， $\epsilon$は任意の正数より，${\epsilon }^{\prime }$も任意の正数とみなすことができる．

整理すると

任意の正数${\displaystyle {\epsilon }^{\prime }}$ に対して，適当な正の数$\delta$ があって

$0<\left|x-a\right|<\delta$のすべての$x$ について${\displaystyle \left|f\left(x\right)g\left(x\right)-\alpha \beta \right|<{\epsilon }^{\prime }}$ となる

すなわち

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\left\{f\left(x\right)g\left(x\right)\right\}=\alpha \beta }$ ${\displaystyle =\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)\cdot \underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)}$

が成り立つ．

 

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最終更新日 2023年12月20日

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