関数の極限値の性質の証明

$lim_{x \to a} f (x)$ ， $lim_{x \to a} g (x)$ が存在するとき，次式が成り立つ．

$lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim_{x \to a} f (x)}{lim_{x \to a} g (x)}$ 　　( $lim_{x \to a} g (x) \neq 0$ )

■証明

$lim_{x \to a} f (x)$ ， $lim_{x \to a} g (x)$ が存在することより

$\lim_{x \to a} f (x) = α$ ， $\lim_{x \to a} g (x) = β$

とする．言い換えると以下のようになる．

任意の正数 $ε$ に対して，適当な正の数 $δ$ があって

$0 < |x - a| < δ$ のすべての $x$ について $|f (x) - α| < ε$ ， $|g (x) - β| < ε$ となる

ところで

$0 < |x - a| < δ$ のすべての $x$ について $|g (x) - β| < ε$ となる

ことより

$0 < |x - a| < δ^{'}$ のすべての $x$ について $|g (x) - β| < \frac{|β|}{2}$ となる正の数 $δ^{'}$ が存在する．

今回は，適当な正の数 $δ$ を選ぶとき， $δ^{'}$ を選ぶことにする．

この場合

$|g (x)| = |g (x) - β + β|$ $= |β + (g (x) - β)|$ $≧ |β| - |g (x) - β|$ $> |β| - \frac{|β|}{2}$ $= \frac{|β|}{2}$ 　･･････(1)

となる．

上記前提の下で

$|\frac{f (x)}{g (x)} - \frac{α}{β}| = |\frac{β f (x) - α g (x)}{β g (x)}|$

$= \frac{|β f (x) - α β + α β - α g (x)|}{|β g (x)|}$

$= \frac{|β (f (x) - α) - α (g (x) - β)|}{|β g (x)|}$

$≦ \frac{|β (f (x) - α)| + |α (g (x) - β)|}{|β g (x)|}$

$= \frac{|β| |f (x) - α| + |α| |g (x) - β|}{|β| |g (x)|}$

(1)の関係を用いると

$< \frac{|β| ε + |α| ε}{|β| \frac{|β|}{2}}$

$= \frac{2 (|β| + |α|)}{{|β|}^{2}} ε$ 　･･････(2)

となる．

$\frac{2 (|β| + |α|)}{{|β|}^{2}} ε = ε^{'}$ とおくと，(2)は

$|\frac{f (x)}{g (x)} - \frac{α}{β}| < ε^{'}$

となる． $α$ ， $β$ は有限な値， $ε$ は任意の正数より， $ε^{'}$ も任意の正数とみなすことができる．

整理すると

任意の正数 $ε^{'}$ に対して，正の数 $δ^{'}$ があって

$0 < |x - a| < δ^{'}$ のすべての $x$ について $|\frac{f (x)}{g (x)} - \frac{α}{β}| < ε^{'}$ となる

すなわち

$\lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{α}{β} = \frac{\lim_{x \to a} f (x)}{\lim_{x \to a} g (x)}$

が成り立つ．

最終更新日 2023年12月20日