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弧度法の定義

右図のような扇型OABを考える．中心角 $\theta$ は円弧の長さ  l  に比例する．円弧の長さ  l  と扇型の半径  r  の比をとると，同じ角度 $\theta$ に対して扇型の大きさにかかわらずこの比は一定である．この性質を利用して角度の大きさを定めたのが弧度法で

${\displaystyle \theta =\frac{l}{r}}$ ･･････(1)

とする．単位はラジアン（rad）で，通常単位名のラジアンは省略する．この弧度法に対して，45°，60°と表現する方法を度数法という．

弧度法を用いると，(１)より円弧の長さ $l$ は

$l=r\theta$ （円弧の長さ＝半径×中心角）　･･････(2)

となり，とても簡単な式になる．

半径 $r=1$ のとき

(1)より

$l=\theta$ （単位円の円弧の長さ＝中心角）　･･････(3)

となる．このことより弧度法を用いると

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=1}$  ここを参照

が導かれる．この関係より ${\displaystyle sinx}$ の微分が ${\displaystyle cosx}$ となり，三角関数の微分，積分が単純になる．

■度数法と弧度法の対比

• 度数法（単位：deg，度，°）

  弧度法（単位：rad，ラジアン)

• 0°

  0

• 30°

  ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

• 45°

  ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

• 60°

  ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

• 90°

  ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

• 180°

  ${\displaystyle \pi }$

• 270°

  ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$

• 360°

  ${\displaystyle 2\pi }$

 

参考：円周の長さ＝直径× ${\displaystyle \pi }$ （円周率）であるが，このことより度数法による360°が2 ${\displaystyle \pi }$ に対応する． 

●度数法から弧度法に変換する式

弧度法の角度 ${\displaystyle [\text{rad}]=\frac{\pi }{180°}\times }$ 度数法の角度

●弧度法から度数法に変換する式

度数法の角度 ${\displaystyle =\frac{180}{\pi }\times }$ 弧度法の角度 ${\displaystyle [\text{rad}]}$

 

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最終更新日： 2025年4月4日

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