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極限 x →0 sinx /x

lim x0 sinx x =1

■導出

I. x>0  の場合

右のような図形を考える. AB=1 BAC=x 弧度法),弧 BA は半径1の,弧 EF は半径 cosx である.このとき,

sinx DE x =弧 BD  

よって,図形を用いて説明すると

sinx x =      DE   
BD

となる.直感的に,この値は1より小さい値であるとわかる.

予備知識として,弧 EF xcosx ), DE sinx ),弧 BD x ), BC tanx )の長さの関係を導いておくことにする.

扇形 AEF の面積= 1 2 x ( cosx ) 2 ,三角形 AED 1 2 cosxsinx ,三角形 ABD 1 2 sinx

扇形 ABD の面積= 1 2 x ,三角形 ABC の面積= 1 2 tanx

扇形 AEF の面積<三角形 AED の面積 より

1 2 x ( cosx ) 2 < 1 2 cosxsinxxcosx<sinx  ・・・・・・(1)

三角形 AEA の面積<扇形 ABD の面積<三角形 ABC の面積 より

1 2 sinx< 1 2 x< 1 2 tanxsinx<x<tanx  ・・・・・・(2)

(1),(2)より

xcosx<sinx<x<tanx  ・・・・・・(3)

表現を変えると

EF xcosx )の長さ< DE sinx )の長さ<弧 BD x )< BC tanx )の長さ ・・・・・・(4)

となる.

sinx x を求めるとき,はさみうちの手法を用いることにする.(3)の左から3辺分の関係と x>0 より

xcosx x < sinx x < x x cosx< sinx x <1  ・・・・・・(5)

となる.したがって, x0  ならば, cosx1  となり

lim x0 sinx x =1

が導かれる.また,(3)の右から3辺分の関係と sinx>0 より

sinx sinx < x sinx < tanx sinx sinx tanx < sinx x < sinx sinx cosx< sinx x <1

 ・・・・・・(5)

となり同様にして

lim x0 sinx x =1  ・・・・・・(7)

が導かれる.

II. x<0  の場合

x<0 とし, x=t とおく. t>0 ,かつ, x0  のとき t0  である.よって

lim x0 sinx x = lim t0 sin t t = lim t0 sint t = lim t0 sint t =1

となる

I,IIより

x>0 x<0  のいずれの場合も

lim x0 sinx x =1

が成り立つ.

 

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最終更新日 2024年5月13日

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