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アークサインとアークコサインの関係

${\displaystyle {\sin }^{-1}y}$ ， ${\displaystyle {\cos }^{-1}y}$ の間には

${\displaystyle {\sin }^{-1}y+{\cos }^{-1}y=\frac{\pi }{2}}$ 　ただし，${\displaystyle -1\leqq y\leqq 1}$　･･････(1)

の関係がある．

◆導出

図のように単位円上に点 $\text{P}$ があり， $x$ 軸の正方向と線分 $\text{OP}$ のなす角を $\theta$ とし， $y$ 軸の正方向と線分 $\text{OP}$ のなす角を $\frac{\pi }{2}-\theta$ とすると

${\displaystyle \sin \theta =y}$　･･････(2)

${\displaystyle \cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)=y}$　･･････(3)

の関係がある． ${\displaystyle \sin \theta }$ ， ${\displaystyle \cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)}$ の逆関数が存在するためには， $\theta$ の範囲は

${\displaystyle -\frac{\pi }{2}\leqq \theta \le \frac{\pi }{2}}$　･･････(4)

となる．アークサイン，アークコサインを参照

(2)より

${\displaystyle \theta ={\sin }^{-1}y}$　･･････(5)

(3)より

${\displaystyle \frac{\pi }{2}-\theta ={\cos }^{-1}y}$　･･････(6)

が得られる．(6)に(5)を代入し､式を整理すると

${\displaystyle \frac{\pi }{2}-{\sin }^{-1}y={\cos }^{-1}y}$

${\displaystyle {\sin }^{-1}y+{\cos }^{-1}y=\frac{\pi }{2}}$

となる．

【参考】

(2)と(3)より

${\displaystyle \cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)=\sin \theta }$

が得られる．三角関数の計算の基礎を参照

●グラフを用いた説明

${\displaystyle \theta ={\sin }^{-1}y}$

のグラフを $y$ 軸に関して対称移動した

${\displaystyle -\theta ={\sin }^{-1}y}$

${\displaystyle \theta =-{\sin }^{-1}y}$

のグラフをさらに $\theta$ 軸方向に ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ 平行移動した

${\displaystyle \theta -\frac{\pi }{2}=-{\sin }^{-1}y}$

${\displaystyle \theta =-{\sin }^{-1}y+\frac{\pi }{2}}$

グラフは

${\displaystyle \theta ={\cos }^{-1}y}$

のグラフのグラフと重なる．

よって

${\displaystyle {\cos }^{-1}y=-{\sin }^{-1}y+\frac{\pi }{2}}$

${\displaystyle {\sin }^{-1}y+{\cos }^{-1}y=\frac{\pi }{2}}$

の関係が得られる．

　

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最終更新日： 2024年8月2日

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