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応用分野: 指数と対数の関係式対数関数アークコサインアークタンジェントアークサイン

逆関数

関数 y=f( x ) がある.この関数においては,変数 x に対してただ1つの値 y が定まる.逆に y を決めると x がただ1つ定まる場合がある.この場合, x は y  の関数となり,

x=g( y )  

と表わすとする.

関数を表すとき,一般的に変数に x , 変数 x に対応する 値に y を用いるので,

y=g( x )  

と書き直す.この関数 g( x ) を関数 f( x ) 逆関数という.逆写像参照のこと.

関数 f( x ) 逆関数を一般的に f 1 ( x )  と表す.

 関数 y=2x  (右の図の青線)について逆関数を考えてみる.

変数 x  の値が1であれば, y の値は2に定まる.逆に y の値が4であれば, x  値は2にただ1つ定まる.すなわち, y を変数として x  を表すと,

x= 1 2 y  

となる. x と y を入れ替えると,

y= 1 2 x  

となり,これが,関数 y=2x  の逆関数(下の図の赤線)になる.

 関数 y=f( x ) のグラフとその関数の逆関数 y= f 1 ( x ) のグラフは直線 y=x  に関して対称である.

 関数 y= x 2  の場合は, y の値4に対して x は2と-2が対応し,1つに定まらない.よって, x は y 関数とならないが, x0  と範囲を定めると, y に対してただ1つの x が定まり逆関数が存在することになる.

 

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初版:2005年10月8日,最終更新日 2007年10月17日

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