ベクトルを用いた加法定理の証明

$sin (α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β$
$cos (α \pm β) = cos α cos β \mp sin α sin β$
$tan (α \pm β) = \frac{tan α \pm tan β}{1 \mp tan α tan β}$

（複号同順）

■証明

$x$ 軸の正方向の基本ベクトルを $\overset{⟶}{e_{1}}$ ， $y$ 軸の正方向の基本ベクトルを $\overset{⟶}{e_{2}}$ ，単位円上の点Pの位置ベクトルを $\overset{⟶}{r}$ とする．

$\overset{⟶}{r}$ を成分表示すると

$\overset{⟶}{r} = (r_{x}, r_{y})$ ･･････(1)

と表されるとする．ただし，三角関数の定義より

$r_{x} = cos α$ ･･････(2)

$r_{y} = sin α$ ･･････(3)

となる．

$x$ 軸の正方向の基本ベクトルを $\overset{⟶}{e_{1}}$ ， $y$ 軸の正方向の基本ベクトルを $\overset{⟶}{e_{2}}$ とすると， $\overset{⟶}{r}$ の基本ベクトル表示は

$\overset{⟶}{r}$ $= r_{x} \overset{⟶}{e_{1}} + r_{y} \overset{⟶}{e_{2}}$ $= (cos α) \overset{⟶}{e_{1}} + (sin α) \overset{⟶}{e_{2}}$ ･･････(4)

ここで， $\overset{⟶}{r}$ ， $\overset{⟶}{e_{1}}$ ， $\overset{⟶}{e_{2}}$ を原点を中心に角度 $β$ だけ半時計回りに回転させたものをそれぞれ， $\overset{⟶}{r^{'}}$ ， $\overset{⟶}{{e^{'}}_{1}}$ ， $\overset{⟶}{{e^{'}}_{2}}$ とすると，それぞれのベクトルの位置関係は変わらないので

$\overset{⟶}{r^{'}} = (cos α) \overset{⟶}{{e^{'}}_{1}} + (sin α) \overset{⟶}{{e^{'}}_{2}}$ ･･････(5)

の関係が得られる．

$\overset{⟶}{{e^{'}}_{1}}$ ， $\overset{⟶}{{e^{'}}_{2}}$ を成分表示で表すと

$\overset{⟶}{{e^{'}}_{1}} = (cos β, sin β)$ ･･････(6)

$\overset{⟶}{{e^{'}}_{2}} = (cos (β + 90 °), sin (β + 90 °))$ $= (- sin β, cos β)$ (三角関数の計算の基礎を参照) ･･････(7)

となる．

(6)，(7)を(5)に代入すると

$\overset{⟶}{r^{'}}$ $= cos α (cos β, sin β) + sin α (- sin β, cos β)$

$= (cos α cos β - sin α sin β, cos α sin β + sin α cos β)$ ･･････(8)

となる．

一方， $\overset{⟶}{r^{'}}$ と $x$ 軸のなす角は $α + β$ であるので， $\overset{⟶}{r^{'}}$ を成分表示で表すと

$\overset{⟶}{r^{'}} = (cos (α + β), sin (α + β))$ ･･････(9)

となる．

(8)と(9)は同じ $\overset{⟶}{r^{'}}$ を成分表示したものであるので，そてぞれの成分はお互いに等しい．よって

$cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$ ･･････(10)

$sin (α + β) = cos α sin β + sin α cos β$ $= sin α cos β + cos α sin β$ ･･････(11)

となる．

以上より加法定理が導かれた．

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最終更新日 2023年3月2日