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応用分野: 加法定理

加法定理の証明

sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β  

cos ( α ± β ) = cos α cos β sin α sin β  

tan ( α ± β ) = tan α ± tan β 1 tan α tan β  

(複号同順) 

■証明

一般的な証明を紹介する.(ベクトルを用いた証明オイラーの公式を用いた導出もある.)

単位円上に点PQ がある. x  軸の正方向とOPなす角 α x  軸のの正方向とOQなす角 β とする.

三角形OPQ を考える.余弦定理より

PQ 2 = OP 2 + OQ 2 2 OP · OQ cos ( α β )

= 1 2 + 1 2 2 · 1 · 1 · cos ( α β )  

= 2 2 cos ( α β )  ・・・・・・(1)

線分PQ の長さを点P ,点Q座標成分を用いて表すと

PQ 2 = ( cos β cos α ) 2 + ( sin β sin α ) 2  

= cos 2 β 2 cos β cos α + cos 2 α + sin 2 β 2 sin β sin α + sin 2 α  

= ( sin 2 α + cos 2 α ) + ( sin 2 β + cos 2 β ) 2 cos β cos α 2 sin β sin α

= 2 2 ( sin α sin β + cos α cos β ) ・・・・・・(2) 

(1),(2)より

2 2 cos ( α β ) = 2 2 ( cos α cos β + sin α sin β )

よって

  • cos ( α β ) = cos α cos β + sin α sin β
  •   ・・・・・・(3)

 

(3)を用いて他の加法定理の公式も導くことができる.以下にそれを示す.

 

cos ( α + β ) = cos { α ( β ) }

= cos α cos ( β ) + sin α sin ( β ) ((3)より)  

= cos α cos β sin α sin β ・・・・・・(4)  

 

= cos { ( 90 α ) β }  

= cos ( 90 α ) cos β + sin ( 90 α ) sin β  

= sin α cos β + cos α sin β ・・・・・・(5)

 

sin ( α β ) = sin { α + ( β ) }  

= sin α cos ( β ) + cos α sin ( β )  

= sin α cos β cos α sin β ・・・・・・(6)  

 

tan ( α + β ) = sin ( α + β ) cos ( α + β )  

= sin α cos β + cos α sin β cos α cos β sin α sin β  

分子,分母を cos α cos β で割ると

= tan α + tan β 1 tan α tan β ・・・・・・(7)  

 

tan ( α β ) = sin ( α β ) cos ( α β )  

= sin α cos β cos α sin β cos α cos β + sin α sin β  

分子,分母を cos α cos β で割ると

= tan α tan β 1 + tan α tan β ・・・・・・(8)

 

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最終更新日 2025年2月13日

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