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応用分野: 加法定理の証明

余弦定理

三角形の各辺a ,b ,c と各角A ,B ,C の間には以下に示す関係がある.

a 2 = b 2 + c 2 2bccosA b 2 = c 2 + a 2 2cacosB c 2 = a 2 + b 2 2abcosC

この関係を余弦定理という.

■証明

三角形の頂点Cから辺ABに垂線CDを引く.
直角三角形ACDと直角三角形BCDができる.
直角三角形BCDに三平方の定理を用いると,

CB 2 = CD 2 + BD 2 ・・・・・・(1)

CB = a CD = b sin A  (⇒ここを参照), BD = c b cos A  の関係を(1)に代入すると

a 2 = ( bsinA ) 2 + ( cbcosA ) 2   = b 2 sin 2 A+ c 2 2cbcosA+ b 2 cos 2 A   = b 2 ( sin 2 A+ cos 2 A )+ c 2 2cbcosA   = b 2 + c 2 2bccosA a 2 = b 2 + c 2 2bccosA

A =90°, 鈍角の場合の証明は省略

同様にして,

b 2 = c 2 + a 2 2cacosB c 2 = a 2 + b 2 2abcosC

も求められる

 

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最終更新日: 2020年3月27日

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