内積の値の幾何学的検討

■ ${\displaystyle 0°<\theta <90°}$ の場合

${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|cos\theta }$${\displaystyle =\left|\overrightarrow{a}\right|\left(\left|\overrightarrow{b}\right|cos\theta \right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ を${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ の始点を中心に，${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ のなす角が広がる方向に90°回転させたものを ${\displaystyle \overrightarrow{a^{\prime }}}$ とする．

${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}$ の値は一辺の長さが${\displaystyle \left|\overrightarrow{a}\right|}$と ${\displaystyle \left|\overrightarrow{b}\right|cos\theta }$の長方形の

面積に等しい．（赤の斜線の面積）

言い換えると， ${\displaystyle \overrightarrow{a^{\prime }}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を一辺とする平行四辺形の面積に等しい．（青の斜線の面積）

■ ${\displaystyle 90°<\theta <180°}$の場合

${\displaystyle \left|\overrightarrow{b}\right|cos\theta <0\left(\because 0<\theta <180°\right)}$ より，同様に考えると ${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}$ の値は， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を一辺とする平行四辺形の面積に-1をかけたものになる．

 

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最終更新日 2023年2月21日