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積分　csc^2x

${\displaystyle \int {csc}^{2}xdx}$

${\displaystyle cotx}$の微分は，${\displaystyle {\left(cotx\right)}^{\prime }=-{csc}^{2}x}$である．　⇒ここを参照

積分はこの逆の操作をすることなので，${\displaystyle -{csc}^{2}x}$を積分すると${\displaystyle cotx}$になるのである．
正負を入れ替えて，これを利用すると

${\displaystyle \int {csc}^{2}xdx=-cotx+C}$

となる．

●${\displaystyle \tan \frac{x}{2}=1}$ とおく置換積分で計算する方法

${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$　　･･････(1)

${\displaystyle \sin x=\frac{2t}{1+t^2}}$ 　　･･････(2)

(1)，(2)についてはここを参照

(1)，(2)より

${\displaystyle {\displaystyle \int {\csc }^{2}xdx}={\displaystyle \int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{{\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)}^2}\frac{2}{1+t^2}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{1+t^2}{t^2}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \left(\frac{1}{t^2}+1\right)dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{t}+t\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{t^2-1}{2t}+C}$

変数を $x$ から $t$ に戻す．

${\displaystyle =\frac{{\left(\tan \frac{x}{2}\right)}^2-1}{2\tan \frac{x}{2}}+C}$

${\displaystyle =\frac{{\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\right)}^2-1}{2\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}+C}$

${\displaystyle =\frac{{\left(\sin \frac{x}{2}\right)}^2-{\left(\cos \frac{x}{2}\right)}^2}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}+C}$

2倍角の公式を適用する．

${\displaystyle =\frac{-\cos x}{\sin x}+C}$

${\displaystyle =-\cot x+C}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日 2024年7月5日

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