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応用分野: 積分の計算手順知っていると便利な積分の公式置換方法の例

tan(x/2)=t とおく置換積分

被積分関数 f( sinx,cosx )  と表されるとき, tan x 2 =t とおく置換積分を行う.

sin x = 2 t 1 + t 2 cos x = 1 t 2 1 + t 2 d x = 2 1 + t 2 d t  

より

  • f ( sin x ,   cos x ) dx

  • = f ( 2 t 1 + t 2 , 1 t 2 1 + t 2 ) 2 1 + t 2 dt

となる.

cosx= 1 t 2 1+ t 2  を導く

2倍角の公式と, tan x 2 =t  より,

tanx= 2tan x 2 1 tan 2 x 2 = 2t 1 t 2

三角関数の相互関係の公式より,

tan 2 x 2 +1= 1 cos 2 x 2  

よって,

cos 2 x 2 = 1 tan 2 x 2 +1 = 1 1+ t 2  

半角の公式より,

cos 2 x 2 = 1+cosx 2  

したがって

cos x

= 2 cos 2 x 2 1

= 2 1 + t 2 1

= 1 t 2 1 + t 2

sinx= 2t 1+ t 2  を導く

三角関数の相互関係の公式 tanx= sinx cosx  より, 

sin x

= tan x cos x

= 2 t 1 t 2 1 t 2 1 + t 2

= 2 t 1 + t 2

dx= 2 1+ t 2 dt  を導く

t=tan x 2 = sin x 2 cos x 2  なので,

d t d x

= ( sin x 2 ) cos x 2 sin x 2 ( cos x 2 ) ( cos x 2 ) 2

= 1 2 cos x 2 cos x 2 sin x 2 ( 1 2 sin x 2 ) ( cos x 2 ) 2

= 1 2 1 cos 2 x 2

= 1 2 1 1 1 + t 2

= 1 + t 2 2

したがって,

dx= 2 1+ t 2 dt  

以下に tan x 2 =t で置換して解く例題をいくつか示す.

1 cosx dx  ⇒解説と解答

1 sinx dx  ⇒解説と解答

1 sinx+cosx+1 dx  ⇒解説と解答

 

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最終更新日: 2016年11月16日

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