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tan(x/2)=t とおく置換積分

■関連動画

■解説

被積分関数が ${\displaystyle f\left(sinx,cosx\right)}$  と表されるとき， ${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ とおく置換積分を行う．

${\displaystyle {\displaystyle sinx=\frac{2t}{1+t^2}}}$ ， ${\displaystyle cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}}$ ， ${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$

より

${\displaystyle \int f(sinx,cosx)dx}$ ${\displaystyle =\int f(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\cdot \frac{2}{1+t^2}dt}$

となる．

■ ${\displaystyle cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}}$  を導く

2倍角の公式と， ${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$  より

${\displaystyle tanx=\frac{2tan\frac{x}{2}}{1-{tan}^2\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1-t^2}}$

三角関数の相互関係の公式より

${\displaystyle {tan}^2\frac{x}{2}+1=\frac{1}{{cos}^2\frac{x}{2}}}$  

よって

${\displaystyle {cos}^2\frac{x}{2}=\frac{1}{{tan}^2\frac{x}{2}+1}=\frac{1}{1+t^2}}$  

半角の公式より

${\displaystyle {cos}^2\frac{x}{2}=\frac{1+cosx}{2}}$  

したがって

${\displaystyle cosx}$ ${\displaystyle =2{cos}^2\frac{x}{2}-1}$

${\displaystyle =\frac{2}{1+t^2}-1}$

${\displaystyle =\frac{1-t^2}{1+t^2}}$

■ ${\displaystyle sinx=\frac{2t}{1+t^2}}$  を導く

三角関数の相互関係の公式 ${\displaystyle tanx=\frac{sinx}{cosx}}$  より

${\displaystyle sinx}$ ${\displaystyle =tanxcosx}$

${\displaystyle =\frac{2t}{1-t^2}\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}}$

${\displaystyle =\frac{2t}{1+t^2}}$

■ ${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$  を導く

${\displaystyle t=tan\frac{x}{2}=\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}}$  なので

${\displaystyle \frac{dt}{dx}}$ ${\displaystyle =\frac{{\left(sin\frac{x}{2}\right)}^{\prime }cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2}{\left(cos\frac{x}{2}\right)}^{\prime }}{{\left(cos\frac{x}{2}\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2}\left(-\frac{1}{2}sin\frac{x}{2}\right)}{{\left(cos\frac{x}{2}\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{cos}^2\frac{x}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac{1}{1+t^2}}}$

${\displaystyle =\frac{1+t^2}{2}}$

したがって

${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$  

◆事例

以下に ${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ で置換して解く例題をいくつか示す．

• ${\displaystyle \int \frac{1}{cosx}dx}$  ⇒解説と解答
• ${\displaystyle \int \frac{1}{sinx}dx}$  ⇒解説と解答
• ${\displaystyle \int {sec}^{2}xdx}$  ⇒解説と解答
• ${\displaystyle \int {csc}^{2}xdx}$  ⇒解説と解答
• ${\displaystyle \int \frac{1}{sinx+cosx+1}dx}$  ⇒解説と解答

以下に ${\displaystyle tanx=t}$ で置換して解く例題をいくつか示す．

• ${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{{\tan }^{2}2x}dx}}$  ⇒解説と解答

 

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最終更新日： 2025年4月26日

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