問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図利用してください.

tan(x/2)=t とおく置換積分の問題(3)

■問題

次の問題を積分せよ.

1 sinx+cosx+1 dx  を tan x 2 =t  と置換して解きなさい.


■答

log| tan x 2 +1 |+C           ( C は積分定数)

■ヒント

手順1:
 半角の公式または2倍角の公式を用いて sinx cosx を変数 t を用いて表す.

     

手順2:
  tan x 2 =t を微分し, dx dt の関係式を求める.


手順3:
 求めた2つの式を用いて置換積分する.(変数 x を変数 t に変換する)


■解説

・まず, sinx を変数 t を用いて表す.導出はここを参照

sinx= 2t 1+ t 2  ・・・・・・(1)

  
cosx の式も同様に t の式に変換する.導出はここを参照

cosx= 1 t 2 1+ t 2  ・・・・・・(2)


・次に tanx= 2t 1 t 2  を導き dx= 2 1+ t 2 dt を導出する.

tan2x= 2tanx 1 tan 2 x      (2倍角の公式 3 つ目を参照)

tanx= 2tan x 2 1 tan 2 x 2

     ( x x 2 に置き換える)     

tanx= 2t 1 t 2

     ( tan x 2 t に置き換える)


ここで dx dt の関係式を求める.

d t d x = ( tan x 2 ) tan x の微分合成関数の微分を参照 )

= 1 cos 2 x 2 · ( x 2 ) ( 微分計算の詳細については,導関数の基本式 I を参照 )

= 1 cos 2 x 2 · 1 2

= 1 2 ( 1 + tan 2 x 2 )

= 1 2 ( 1 + t 2 )

よって, d t d x = 1 + t 2 2  より,

d t = 1 + t 2 2 d x

つまり,

dx= 2 1+ t 2 dt  ・・・・・・(3)

最後に(1),(2),(3)式を問題の式に代入し,計算する.

1 sin x + cos x + 1 d x = 1 2 t 1 + t 2 + 1 t 2 1 + t 2 + 1 2 1 + t 2 d t = 1 2 t + 1 t 2 + 1 + t 2 1 + t 2 2 1 + t 2 d t = 1 2 t + 2 1 + t 2 2 1 + t 2 d t = 1 + t 2 2 ( t + 1 ) 2 1 + t 2 d t = 1 t + 1 d t = log | t + 1 | + C

t=tan x 2 を代入して,変数を元の x に戻すと

1 sin x + cos x + 1 d x = log | tan x 2 + 1 | + C

となる.

■確認問題

求まった答え  log| tan x 2 +1 |+C を微分し,積分前の式 1 sinx+cosx+1 に戻ることを確認しなさい.


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初版:2007年12月18日,最終更新日: 2012年1月23日

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