問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図利用してください.

tan(x/2)=t とおく置換積分の問題(1)

■問題

次の問題を積分せよ。

1 cosx dx  を tan x 2 =t  と置換して解きなさい。


■方針

手順1:
 半角の公式または 2倍角の公式を用いて cosx  を t  の式に変換する。

     

手順2:
  tan x 2 =t  を微分し, dx  と dt  の関係式を求める。


手順3:
 求まった2つの式を問題に代入し,答を求める。


■答

まず cosx= 1 t 2 1+ t 2  を導く。

cosx

=cos2· x 2

     

= cos 2 x 2 sin 2 x 2

     ( この計算過程については,2倍角の公式を参照
      また,半角の公式を用いて導く方法は, tan x 2 =t  とおく置換積分を参照)

= cos 2 x 2 ( 1 sin 2 x 2 cos 2 x 2 )

     

= 1 1+ tan 2 x 2 ·( 1 tan 2 x 2 )

     ( 詳細は,三角関数(三角比)の相互関係を参照 )

= 1 t 2 1+ t 2

     ( tan x 2  を t  に置き換える )


次に dx= 2 1+ t 2 dt  を導く。

dt dx = ( tan x 2 )

= ( sin x 2 cos x 2 )

     ( 詳細は,三角関数(三角比)の相互関係を参照 )

= 1 cos 2 x 2 · ( x 2 )

     ( 微分計算の詳細については,導関数の基本式 I を参照 )

= 1 cos 2 x 2 · 1 2

     

= 1 2 ( 1+ tan 2 x 2 )

     

= 1 2 ( 1+ t 2 )

     

よって, dt dx = 1+ t 2 2  より,


dt= 1+ t 2 2 dx


つまり,

dx= 2 1+ t 2 dt


 最後に,これらの式を問題に代入し,答を導く。

1 cosx dx

= 1+ t 2 1 t 2 · 2 1+ t 2 dt



= 2 1 t 2 dt

     

= 2· 1 2 ·( 1 1+t + 1 1t )dt

     ( 1 1 t 2 = 1 2 ( 1 1+t + 1 1t )  については,
       部分分数に分解する手順を参照 )

= ( 1 1+t + 1 1t )dt

     

=log| 1+t |+ ( 1t ) log| 1t |+C

     

=log| 1+t |log| 1t |+C


=log| 1+t 1t |+C


=log| 1+tan x 2 1tan x 2 |+C

     ( 置換した tan x 2 =t  を元に戻す )



また,この解を変形すると以下のような式が得られる。


log| 1+tan x 2 1tan x 2 |


=log| 1+ sin x 2 cos x 2 1 sin x 2 cos x 2 |

     ( 詳細は,三角関数(三角比)の相互関係を参照 )

=log| cos x 2 +sin x 2 cos x 2 sin x 2 |

     ( 分母と分子に,それぞれ cos x 2 をかける )

=log| ( cos x 2 +sin x 2 cos x 2 sin x 2 )  ·  ( cos x 2 +sin x 2 cos x 2 +sin x 2 ) |

     ( cos x 2 +sin x 2 cos x 2 +sin x 2 =1  である )

=log| cos 2 x 2 +2sin x 2 cos x 2 + sin 2 x 2 cos 2 x 2 sin 2 x 2 |

     ( 2倍角の公式より, 2sin x 2 cos x 2 =sinx  ,
       cos 2 x 2 sin 2 x 2 =cosx  )

=log | 1+sinx | | cosx |

     ( log | 1+sinx | | cosx |  と log| 1+sinx cosx |  は同じものである
      また, cos 2 x+ sin 2 x=1  より, | cosx |= 1 sin 2 x  )

=log | 1+sinx | | 1 sin 2 x |


=log| 1+sinx · 1+sinx 1sinx · 1+sinx |

     ( 分母と分子の 1+sinx  を約分する )

=log| 1+sinx 1sinx |


=log | 1+sinx 1sinx | 1 2


= 1 2 log| 1+sinx 1sinx |


= 1 2 log( 1+sinx 1sinx )

     ( 1sinx1  より,
     値が負になることはないため,絶対値の括弧が外れる )

 この解は,別の置換方法を用いて導いた場合に得られる解である。
 詳しくはここを参照。


■確認問題

求まった答え log| 1+tan x 2 1tan x 2 |+C  を微分し,

積分前の式 1 cosx  に戻ることを確認しなさい。


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初版:2007年12月18日,最終更新日: 2007年12月26日

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