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∫xαdx=1α+1xα+1+C ・・・・・・(1)
※αの値は−1以外の実数
(1)式はxαを積分したものである.積分は微分と逆の操作だと考えることができる.
ある関数を積分し,それを微分すると,元の関数に戻る.
1a+1xα+1を微分すると以下のようになる.
ddx(1α+1xα+1)=1α+1.(α+1)xα
=xα ⇒ここを参照
よって,1α+1xα+1はxαの原始関数である.従って,不定積分の定義より
∫xαdx=1α+1xα+1+C
以下に積分の具体例を示す.
xαのαを3と置いたときの関数x3を積分する.
∫x3dx=13+1x3+1+C
=14x4+C
となる.ここで,結果を微分してx3に戻るかどうか確認すると
ddx(14x4+C)=x3
となり,元に戻った.
※のα≠−1とあるが,α=−1の時は(1)式の左辺1α+1の分母が0になり,(1)式は成立しない.
∫x−1dx=1−1+1x−1+1+C
=10x0+C
従って,α=−1の時は別の方法で積分しなければならない.⇒ここを参照
ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>基本となる関数の積分>>積分 xα
学生スタッフ作成
最終更新日
2023年10月3日