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積分　(x^n)e^x

${\displaystyle \int x^n{e}^{x}dx}$

部分積分法を用いて計算する．

${\displaystyle =\int x^n{e}^{x}xdx}$

${\displaystyle =\int x^n{\left\{e^x\right\}}^{\prime }xdx}$

${\displaystyle =x^n{e}^x-\int {\left\{x^n\right\}}^{\prime }{e}^{x}xdx}$

${\displaystyle =x^n{e}^x-\int n{x}^{n-1}{e}^{x}xdx}$

${\displaystyle =x^n{e}^x-n\int x^{n-1}{e}^{x}xdx}$　･･････(1)

${\displaystyle \int x^n{e}^{x}dx=I_n}$ とおくと，(1)の右辺の${\displaystyle \int x^{n-1}{e}^{x}xdx}$  は${\displaystyle I_{n-1}}$ と表される．すなわち，${\displaystyle I_n}$  は数列${\displaystyle \left\{I_n\right\}}$  の第$n$ 項， ${\displaystyle I_{n-1}}$ は数列${\displaystyle \left\{I_n\right\}}$  の第${\displaystyle n-1}$  項のことである． ${\displaystyle I_n}$  と${\displaystyle I_{n-1}}$ を用いて(1)をかき直すと

${\displaystyle I_n=x^n{e}^x-n{I}_{n-1}}$

となり，漸化式となる．

この漸化式をもとに，${\displaystyle \int x^3{e}^{x}dx}$  の積分を計算してみる．

${\displaystyle I_0=\int x^0{e}^{x}dx=\int e^{x}dx=e^x}$

${\displaystyle I_1=x^1{e}^x-1·I_0=x{e}^x-e^x}$${\displaystyle =\left(x-1\right)e^x}$  

${\displaystyle I_2=x^2{e}^x-2I_1}$${\displaystyle =x^2{e}^x-2\left(x-1\right)e^x}$${\displaystyle =\left(x^2-2x+2\right)e^x}$  

${\displaystyle I_3=x^3{e}^x-3I_2}$${\displaystyle =x^3{e}^x-3\left(x^2-2x+2\right)e^x}$${\displaystyle =\left(x^3-3x^2+6x-6\right)e^x}$  

のように，${\displaystyle I_0}$ ，${\displaystyle I_1}$ ，${\displaystyle I_2}$ ，${\displaystyle I_3}$ と順次漸化式を利用して計算するとよい．

 

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最終更新日： 2023年10月4日

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