積分　(x^n)e^x

$\int x^{n} e^{x} d x$

部分積分法を用いて計算する．

$= \int x^{n} e^{x} x d x$

$= \int x^{n} {e^{x}}^{'} x d x$

$= x^{n} e^{x} - \int {x^{n}}^{'} e^{x} x d x$

$= x^{n} e^{x} - \int n x^{n - 1} e^{x} x d x$

$= x^{n} e^{x} - n \int x^{n - 1} e^{x} x d x$ 　･･････(1)

$\int x^{n} e^{x} d x = I_{n}$ とおくと，(1)の右辺の $\int x^{n - 1} e^{x} x d x$ は $I_{n - 1}$ と表される．すなわち， $I_{n}$ は数列 ${I_{n}}$ の第 $n$ 項， $I_{n - 1}$ は数列 ${I_{n}}$ の第 $n - 1$ 項のことである． $I_{n}$ と $I_{n - 1}$ を用いて(1)をかき直すと

$I_{n} = x^{n} e^{x} - n I_{n - 1}$

となり，漸化式となる．

この漸化式をもとに， $\int x^{3} e^{x} d x$ の積分を計算してみる．

$I_{0} = \int x^{0} e^{x} d x = \int e^{x} d x = e^{x}$

$I_{1} = x^{1} e^{x} - 1 \cdot I_{0} = x e^{x} - e^{x}$ $= (x - 1) e^{x}$

$I_{2} = x^{2} e^{x} - 2 I_{1}$ $= x^{2} e^{x} - 2 (x - 1) e^{x}$ $= (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$

$I_{3} = x^{3} e^{x} - 3 I_{2}$ $= x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$ $= (x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6) e^{x}$

のように， $I_{0}$ ， $I_{1}$ ， $I_{2}$ ， $I_{3}$ と順次漸化式を利用して計算するとよい．

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>部分積分>>積分　(x^n)e^x

最終更新日： 2023年10月4日

積分 (x^n)e^x

積分　(x^n)e^x