部分積分法

【不定積分】

${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$

【定積分】

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx={\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$

${\displaystyle f\left(x\right)}$  と${\displaystyle g\left(x\right)}$ の関係を逆にした表現もよくある．

【不定積分】

${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$

【定積分】

${\displaystyle {\int }_a^b{f}^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx={\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}_a^b-{\int }_a^{b}f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$

■利用上のポイント

関数の積の積分において，その一方が微分すると簡単になるときに有効である．

部分積分法を使った計算例は，ここにいくつか掲載している．

部分積分を行うと以下に示す特殊な場合がある．

• 部分積分を行うと，右辺に左辺と同じ積分が現れる場合⇒積分例

• 部分積分を行うと漸化式となる場合⇒積分例1，積分例2

■部分積分法の公式の導出

関数の積の微分の公式

${\displaystyle {\left\{f\left(x\right)g\left(x\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}$

の両辺を積分し，式を整理すると，

${\displaystyle \begin{array}{l}\int {\left\{f\left(x\right)g\left(x\right)\right\}}^{\prime }dx=\int \left\{f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)\right\}dx\\ f\left(x\right)g\left(x\right)=\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx+\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx\\ \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx\end{array}}$

となり，部分積分法の公式が求まる．

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>部分積分

最終更新日： 2013年8月6日