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逆演算子の計算順序変更

逆演算子の計算順序を変更すると，計算結果が異なる場合がある．

■計算結果が一致する場合

逆演算子の公式，

$\frac{1}{D - α} F (x) = e^{α x} \int e^{- α x} F (x) d x$ ⇒詳細

$\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x$

などを使って次の2種類の計算を行う．

$\frac{1}{(D + 3) (D - 2)} x$
$= \frac{1}{D + 3} e^{2 x} \int x e^{- 2 x} d x$
$= \frac{1}{D + 3} e^{2 x} \int x {(- \frac{1}{2} e^{- 2 x})}^{'} d x$
$= \frac{1}{D + 3} e^{2 x} {- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x}$
$= \frac{1}{D + 3} e^{2 x} (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x})$
$= \frac{1}{D + 3} (- \frac{1}{2} x - \frac{1}{4})$
$= - \frac{1}{2} \frac{1}{D + 3} (x + \frac{1}{2})$
$= - \frac{1}{2} e^{- 3 x} \int e^{3 x} (x + \frac{1}{2}) d x$
$= - \frac{1}{2} e^{- 3 x} \int {(\frac{1}{3} e^{3 x})}^{'} (x + \frac{1}{2}) d x$
$= - \frac{1}{2} e^{- 3 x} {\frac{1}{3} e^{3 x} (x + \frac{1}{2}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x}$
$= - \frac{1}{2} e^{- 3 x} {\frac{1}{3} e^{3 x} (x + \frac{1}{2}) - \frac{1}{9} e^{3 x}}$
$= - \frac{1}{6} {(x + \frac{1}{2}) - \frac{1}{3}}$
$= - \frac{1}{6} (x + \frac{1}{6})$

\frac{1}{(D - 2) (D + 3)} x

= \frac{1}{D - 2} e^{- 3 x} \int x e^{3 x} d x

= \frac{1}{D - 2} e^{- 3 x} \int x {(\frac{1}{3} e^{3 x})}^{'} d x

= \frac{1}{D - 2} e^{- 3 x} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)

= \frac{1}{D - 2} e^{- 3 x} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x})

= \frac{1}{D - 2} (\frac{1}{3} x - \frac{1}{9})

= \frac{1}{3} \frac{1}{D - 2} (x - \frac{1}{3})

= \frac{1}{3} e^{2 x} \int e^{- 2 x} (x - \frac{1}{3}) d x

= \frac{1}{3} e^{2 x} \int {(- \frac{1}{2} e^{- 2 x})}^{'} (x - \frac{1}{3}) d x

= \frac{1}{3} e^{2 x} {- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (x - \frac{1}{3}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x}

= \frac{1}{3} e^{2 x} {- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (x - \frac{1}{3}) - \frac{1}{4} e^{- 2 x}}

= - \frac{1}{6} {(x - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2}}

= - \frac{1}{6} (x + \frac{1}{6})

この場合は順序を逆にしても答えが一致する．次の場合も答えは一致する．

次の場合は順序を逆にすると，答えが一致しない．

$- \frac{1}{25} e^{2 x}$ は $(D + 3) (D - 2) y = 0$ の一般解に含まれる．

よって特殊解としては $- \frac{1}{25} e^{2 x}$ を省略することができる．

学生スタッフ作成
初版：2009年9月11日，最終更新日： 2011年8月30日