逆演算子の計算順序を変更すると,計算結果が異なる場合がある.
逆演算子の公式
1 D − α F ( x ) = e α x ∫ e − α x F ( x ) d x ⇒詳細
部分積分
∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x
などを使って次の2種類の計算を行う.
1 ( D + 3 ) ( D − 2 ) x
= 1 D + 3 e 2 x ∫ x e − 2 x d x
= 1 D + 3 e 2 x ∫ x ( − 1 2 e − 2 x ) ′ d x
= 1 D + 3 e 2 x { − 1 2 x e − 2 x − ∫ − 1 2 e − 2 x d x }
= 1 D + 3 e 2 x ( − 1 2 x e − 2 x − 1 4 e − 2 x )
= 1 D + 3 ( − 1 2 x − 1 4 )
= − 1 2 1 D + 3 ( x + 1 2 )
= − 1 2 e − 3 x ∫ e 3 x ( x + 1 2 ) d x
= − 1 2 e − 3 x ∫ ( 1 3 e 3 x ) ′ ( x + 1 2 ) d x
= − 1 2 e − 3 x { 1 3 e 3 x ( x + 1 2 ) − ∫ 1 3 e 3 x d x }
= − 1 2 e − 3 x { 1 3 e 3 x ( x + 1 2 ) − 1 9 e 3 x }
= − 1 6 { ( x + 1 2 ) − 1 3 }
= − 1 6 ( x + 1 6 )
1 ( D − 2 ) ( D + 3 ) x
= 1 D − 2 e − 3 x ∫ x ( 1 3 e 3 x ) ′ d x
= 1 D − 2 e − 3 x ∫ x e 3 x d x
= 1 D − 2 e − 3 x ( 1 3 x e 3 x − ∫ 1 3 e 3 x d x )
= 1 D − 2 e − 3 x ( 1 3 x e 3 x − 1 9 e 3 x )
= 1 D − 2 ( 1 3 x − 1 9 )
= 1 3 1 D − 2 ( x − 1 3 )
= 1 3 e 2 x ∫ e − 2 x ( x − 1 3 ) d x
= 1 3 e 2 x ∫ ( − 1 2 e − 2 x ) ′ ( x − 1 3 ) d x
= 1 3 e 2 x { − 1 2 e − 2 x ( x − 1 3 ) − ∫ − 1 2 e − 2 x d x }
= 1 3 e 2 x { − 1 2 e − 2 x ( x − 1 3 ) − 1 4 e − 2 x }
= − 1 6 { ( x − 1 3 ) + 1 2 }
この場合は順序を逆にしても答えが一致する.次の場合も答えは一致する.
1 ( D + 3 ) ( D − 2 ) e x
= 1 D + 3 e 2 x ∫ e − 2 x e x d x
= 1 D + 3 e 2 x ∫ e − x d x
= 1 D + 3 e 2 x ( − e − x )
= − 1 D + 3 e x
= − e − 3 x ∫ e 3 x e x d x
= − e − 3 x ∫ e 4 x d x
= − e − 3 x ( 1 4 e 4 x )
= − 1 4 e x
1 ( D − 2 ) ( D + 3 ) e x
= 1 D − 2 e − 3 x ∫ e 3 x e x d x
= 1 D − 2 e − 3 x ( 1 4 e 4 x )
= 1 4 1 D − 2 e x
= 1 4 e 2 x ∫ e − 2 x e x d x
= 1 4 e 2 x ∫ e − x d x
= 1 4 e 2 x ( − e − x )
次の場合は順序を逆にすると,答えが一致しない.
1 ( D + 3 ) ( D − 2 ) e 2 x
= 1 D + 3 e 2 x ∫ e − 2 x e 2 x d x
= 1 D + 3 e 2 x ∫ d x
= 1 D + 3 x e 2 x
= e − 3 x ∫ e 3 x x e 2 x d x
= e − 3 x ∫ x e 5 x d x
= e − 3 x ∫ x ( 1 5 e 5 x ) ′ d x
= e − 3 x ( 1 5 x e 5 x − ∫ 1 5 e 5 x d x )
= e − 3 x ( 1 5 x e 5 x − 1 25 e 5 x )
= 1 5 e 2 x ( x − 1 5 )
= 1 5 x e 2 x − 1 25 e 2 x
1 ( D − 2 ) ( D + 3 ) e 2 x
= 1 D − 2 e − 3 x ∫ e 3 x e 2 x d x
= 1 D − 2 e − 3 x ∫ e 5 x d x
= 1 D − 2 e − 3 x 1 5 e 5 x
= 1 5 1 D − 2 e 2 x
= 1 5 e 2 x ∫ e − 2 x e 2 x d x
= 1 5 e 2 x ∫ d x
= 1 5 x e 2 x
− 1 25 e 2 x は ( D + 3 ) ( D − 2 ) y = 0 の一般解に含まれる.
よって特殊解としては − 1 25 e 2 x を省略することができる.
ホーム>>カテゴリー別分類>>微分>>微分方程式>>逆演算子の計算順序変更
学生スタッフ作成 最終更新日2025年4月25日
[ページトップ]
利用規約
google translate (English version)