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逆演算子の計算順序変更

逆演算子の計算順序を変更すると,計算結果が異なる場合がある.

■計算結果が一致する場合

逆演算子の公式

1 D α F ( x ) = e α x e α x F ( x ) d x  詳細

部分積分

f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) d x

などを使って次の2種類の計算を行う.

  • 1 ( D + 3 ) ( D 2 ) x

    = 1 D + 3 e 2 x x e 2 x d x

    = 1 D + 3 e 2 x x ( 1 2 e 2 x ) d x

    = 1 D + 3 e 2 x { 1 2 x e 2 x 1 2 e 2 x d x }

    = 1 D + 3 e 2 x ( 1 2 x e 2 x 1 4 e 2 x )

    = 1 D + 3 ( 1 2 x 1 4 )

    = 1 2 1 D + 3 ( x + 1 2 )

    = 1 2 e 3 x e 3 x ( x + 1 2 ) d x

    = 1 2 e 3 x ( 1 3 e 3 x ) ( x + 1 2 ) d x

    = 1 2 e 3 x { 1 3 e 3 x ( x + 1 2 ) 1 3 e 3 x d x }

    = 1 2 e 3 x { 1 3 e 3 x ( x + 1 2 ) 1 9 e 3 x }

    = 1 6 { ( x + 1 2 ) 1 3 }

    = 1 6 ( x + 1 6 )

  • 1 ( D 2 ) ( D + 3 ) x

    = 1 D 2 e 3 x x ( 1 3 e 3 x ) d x

    = 1 D 2 e 3 x x e 3 x d x

    = 1 D 2 e 3 x ( 1 3 x e 3 x 1 3 e 3 x d x )

    = 1 D 2 e 3 x ( 1 3 x e 3 x 1 9 e 3 x )

    = 1 D 2 ( 1 3 x 1 9 )

    = 1 3 1 D 2 ( x 1 3 )

    = 1 3 e 2 x e 2 x ( x 1 3 ) d x

    = 1 3 e 2 x ( 1 2 e 2 x ) ( x 1 3 ) d x

    = 1 3 e 2 x { 1 2 e 2 x ( x 1 3 ) 1 2 e 2 x d x }

    = 1 3 e 2 x { 1 2 e 2 x ( x 1 3 ) 1 4 e 2 x }

    = 1 6 { ( x 1 3 ) + 1 2 }

    = 1 6 ( x + 1 6 )

この場合は順序を逆にしても答えが一致する.次の場合も答えは一致する.

  • 1 ( D + 3 ) ( D 2 ) e x

    = 1 D + 3 e 2 x e 2 x e x d x

    = 1 D + 3 e 2 x e x d x

    = 1 D + 3 e 2 x ( e x )

    = 1 D + 3 e x

    = e 3 x e 3 x e x d x

    = e 3 x e 4 x d x

    = e 3 x ( 1 4 e 4 x )

    = 1 4 e x

  • 1 ( D 2 ) ( D + 3 ) e x

    = 1 D 2 e 3 x e 3 x e x d x

    = 1 D + 3 e 2 x e x d x

    = 1 D 2 e 3 x ( 1 4 e 4 x )

    = 1 4 1 D 2 e x

    = 1 4 e 2 x e 2 x e x d x

    = 1 4 e 2 x e x d x

    = 1 4 e 2 x ( e x )

    = 1 4 e x

■計算結果が一致しない場合

次の場合は順序を逆にすると,答えが一致しない.

  • 1 ( D + 3 ) ( D 2 ) e 2 x

    = 1 D + 3 e 2 x e 2 x e 2 x d x

    = 1 D + 3 e 2 x d x

    = 1 D + 3 x e 2 x

    = e 3 x e 3 x x e 2 x d x

    = e 3 x x e 5 x d x

    = e 3 x x ( 1 5 e 5 x ) d x

    = e 3 x ( 1 5 x e 5 x 1 5 e 5 x d x )

    = e 3 x ( 1 5 x e 5 x 1 25 e 5 x )

    = 1 5 e 2 x ( x 1 5 )

    = 1 5 x e 2 x 1 25 e 2 x

  • 1 ( D 2 ) ( D + 3 ) e 2 x

    = 1 D 2 e 3 x e 3 x e 2 x d x

    = 1 D 2 e 3 x e 5 x d x

    = 1 D 2 e 3 x 1 5 e 5 x

    = 1 5 1 D 2 e 2 x

    = 1 5 e 2 x e 2 x e 2 x d x

    = 1 5 e 2 x d x

    = 1 5 x e 2 x

1 25 e 2 x  は ( D + 3 ) ( D 2 ) y = 0 の一般解に含まれる.

よって特殊解としては 1 25 e 2 x を省略することができる.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日2025年4月25日

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