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逆演算子

■逆演算子

定数係数線形微分方程式は微分演算子 f( D ) を用いると

f( D )y=F( x ) ・・・・・・(1)   ( F( x ) は  x  の関数である)

と表すことができる.

(1)の f( D ) を数式と同じように扱って,微分方程式の特殊解を

y= 1 f( D ) F( x ) ・・・・・・(2)

と表すと,とても便利である.

微分演算子 f( D ) を  y  にほどこすと F( x ) が得られ, 1 f( D ) F( x ) にほどこすと  y  が得られる.

要するに 1 f( D ) f( D ) の逆の操作を意味するので, 1 f( D ) のことを逆演算子という.

演算子 D  の逆演算子は

1 D

演算子 Dα  の逆演算子は

1 Dα

演算子 ( Dα )( Dβ )  の逆演算子は

1 ( Dα )( Dβ )

となる.

また,(2)の両辺に f( D ) をほどこすと

f( D )y=f( D )[ 1 f( D ) F( x ) ]  

となる.(1)より

F( x )=f( D )[ 1 f( D ) F( x ) ]  

となる.さらに右辺の[ ]を省略して

F( x )=f( D ) 1 f( D ) F( x )  

と表すことにすると

f( D ) 1 f( D ) =1  

となる.

 

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年6月9日

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