逆演算子

■逆演算子

定数係数線形微分方程式は微分演算子${\displaystyle f\left(D\right)}$ を用いると

${\displaystyle f\left(D\right)y=F\left(x\right)}$･･････(1)   ( ${\displaystyle F\left(x\right)}$ は  ${\displaystyle x}$  の関数である)

と表すことができる．

(1)の${\displaystyle f\left(D\right)}$ を数式と同じように扱って，微分方程式の特殊解を

${\displaystyle y=\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)}$ ･･････(2)

と表すと，とても便利である．

微分演算子${\displaystyle f\left(D\right)}$ を  ${\displaystyle y}$  にほどこすと${\displaystyle F\left(x\right)}$が得られ，

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}}$ を${\displaystyle F\left(x\right)}$にほどこすと  ${\displaystyle y}$  が得られる．

要するに${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}}$ は${\displaystyle f\left(D\right)}$ の逆の操作を意味するので，${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}}$ のことを逆演算子という．

演算子${\displaystyle D}$  の逆演算子は ${\displaystyle \frac{1}{D}}$

演算子${\displaystyle D-\alpha }$  の逆演算子は ${\displaystyle \frac{1}{D-\alpha }}$

演算子${\displaystyle \left(D-\alpha \right)\left(D-\beta \right)}$  の逆演算子は ${\displaystyle \frac{1}{\left(D-\alpha \right)\left(D-\beta \right)}}$

となる．

また，(2)の両辺に${\displaystyle f\left(D\right)}$をほどこすと

${\displaystyle f\left(D\right)y=f\left(D\right)\left[\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)\right]}$  

となる．(1)より

${\displaystyle F\left(x\right)=f\left(D\right)\left[\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)\right]}$  

となる．さらに右辺の[　]を省略して

${\displaystyle F\left(x\right)=f\left(D\right)\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)}$  

と表すことにすると

${\displaystyle f\left(D\right)\frac{1}{f\left(D\right)}=1}$  

となる．

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学生スタッフ作成
初版：2009年9月8日，最終更新日： 2011年8月30日