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積分 (x^n)e^x

x n e x dx

部分積分法を用いて計算する.

= x n e x xdx

= x n { e x } xdx

= x n e x { x n } e x xdx

= x n e x n x n1 e x xdx

= x n e x n x n1 e x xdx  ・・・・・・(1)

x n e x dx = I n  とおくと,(1)の右辺の x n1 e x xdx  は I n1 と表される.すなわち, I n  は数列 { I n }  の第 n 項, I n1 は数列 { I n }  の第 n1  項のことである. I n  と I n1 を用いて(1)をかき直すと

I n = x n e x n I n1

となり,漸化式となる.

この漸化式をもとに, x 3 e x dx  の積分を計算してみる.

I 0 = x 0 e x dx = e x dx = e x

I 1 = x 1 e x 1· I 0 =x e x e x =( x1 ) e x  

I 2 = x 2 e x 2 I 1 = x 2 e x 2( x1 ) e x =( x 2 2x+2 ) e x  

I 3 = x 3 e x 3 I 2 = x 3 e x 3( x 2 2x+2 ) e x =( x 3 3 x 2 +6x6 ) e x  

のように, I 0 I 1 I 2 I 3  と順次漸化式を利用して計算するとよい.

 

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最終更新日: 2023年10月4日

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