積分を用いたテイラーの定理の導出

関数 $f (x)$ が，閉区間 $[a, b]$ で連続，開区間 $(a, b)$ において $n$ 回微分可能であるとする．

$f (b) = f (a) + \int_{a}^{b} f^{'} (x) d x$ ･･････(1)

と表すことができる．

右辺の積分の項を部分積分をつかって以下のように計算する．

$\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = \int_{a}^{b} 1 \cdot f^{'} (x) d x$

$= \int_{b}^{a} {- (b - x)}^{'} \cdot f^{'} (x) d x$

（∵1を ${- (b - x)}^{'}$ と考えている^注））

$= {[- (b - x) f^{'} (x)]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} {- (b - x)} \cdot f^{″} (x) d x$

（∵部分積分）

$= \frac{f^{'} (a)}{1!} (b - a) + \int_{a}^{b} \frac{f^{″} (x)}{1!} \cdot (b - a) d x$ ･･････(2)

注） 1の積分は $x + C$ であるが，後の計算過程をみると理解できるように， $(b - a)$ のべき級数を作るために積分定数 $C$ を $- b$ に定めている．

(2)を(1)に代入すると

$f (b) = f (a) + \frac{f^{'} (a)}{1!} (b - a) + \int_{a}^{b} \frac{f^{″} (x)}{1!} \cdot (b - x) d x$ ･･････(3)

となる．(3)の右辺の積分を部分積分すると

$\int_{a}^{b} \frac{f^{″} (x)}{1!} \cdot (b - x) d x$

$= \int_{a}^{b} \frac{f^{″} (x)}{1!} \cdot {- \frac{1}{2} {(b - x)}^{2}}^{'} d x$

$= {[\frac{f^{″} (x)}{1!} \cdot {- \frac{1}{2} {(b - x)}^{2}}]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} \frac{f^{(3)} (x)}{1!} \cdot {- \frac{1}{2} {(b - x)}^{2}} d x$

$= \frac{f^{″} (a)}{2!} {(b - a)}^{2} + \int_{a}^{b} \frac{f^{(3)} (x)}{2!} \cdot {(b - x)}^{2} d x$ ･･････(4)

(4)を(3)に代入すると

$f (b) = f (a) + \frac{f^{'} (a)}{1!} (b - a) + \frac{f^{″} (a)}{2!} {(b - a)}^{2} + \int_{a}^{b} \frac{f^{(3)} (x)}{2!} \cdot {(b - x)}^{2} d x$

となる．同様な操作を繰り返すと

$f (b) = f (a) + \frac{f^{'} (a)}{1!} (b - a) + \frac{f^{″} (a)}{2!} {(b - a)}^{2} + \dots \dots + \frac{f^{(n - 1)} (a)}{(n - 1)!} {(b - a)}^{n - 1} + \int_{a}^{b} \frac{f^{(n)} (x)}{(n - 1)!} \cdot {(b - x)}^{n - 1} d x$

が得られる．

開区間 $(a, b)$ における $f^{(n)} (x)$ の最大値を $M$ ，最小値を $m$ とすると

$\int_{a}^{b} \frac{m}{(n - 1)!} \cdot {(b - x)}^{n - 1} d x ≦ \int_{a}^{b} \frac{f^{(n)} (x)}{(n - 1)!} \cdot {(b - x)}^{n - 1} d x ≦ \int_{a}^{b} \frac{M}{(n - 1)!} \cdot {(b - x)}^{n - 1} d x$

と表すことができる．

$\int_{a}^{b} \frac{m}{(n - 1)!} \cdot {(b - x)}^{n - 1} d x = \frac{m}{n!} {(b - a)}^{n}$

$\int_{a}^{b} \frac{M}{(n - 1)!} \cdot {(b - x)}^{n - 1} d x = \frac{M}{n!} {(b - a)}^{n}$

より

$\frac{m}{n!} {(b - a)}^{n} ≦ \int_{a}^{b} \frac{f^{(n)} (x)}{(n - 1)!} \cdot {(b - x)}^{n - 1} d x ≦ \frac{M}{n!} {(b - a)}^{n}$

よって

$\int_{a}^{b} \frac{f^{(n)} (x)}{(n - 1)!} \cdot {(b - x)}^{n - 1} d x = \frac{f^{(n)} (c)}{n!} {(b - a)}^{n}$

となる， $f^{(n)} (c) (m ≦ f^{(n)} (c) ≦ M, a < c < b)$ が存在する．

以上より

$f (b) = f (a) + \frac{f^{'} (a)}{1!} (b - a) + \frac{f^{″} (a)}{2!} {(b - a)}^{2} + \dots \dots + \frac{f^{(n - 1)} (a)}{(n - 1)!} {(b - a)}^{n - 1} + \frac{f^{(n)} (c)}{n!} {(b - a)}^{n}$

となり，テイラーの定理が導かれる．

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最終更新日： 2023年7月28日