積分を用いたテイラーの定理の導出
関数
が,
閉区間
で連続,
開区間
において
回
微分可能であるとする.
・・・・・・(1)
と表すことができる.
右辺の積分の項を
部分積分
をつかって以下のように計算する.
(∵1をと考えている注)
)
(∵部分積分)
・・・・・・(2)
注)
1の積分は
であるが,後の計算過程をみると理解できるように,
のべき級数を作るために積分定数
を
に定めている.
(2)を(1)に代入すると
・・・・・・(3)
となる.(3)の右辺の積分を部分積分すると
・・・・・・(4)
(4)を(3)に代入すると
となる.同様な操作を繰り返すと
が得られる.
開区間
における
の最大値を
,最小値を
とすると
と表すことができる.
より
よって
となる,
が存在する.
以上より
となり,
テイラーの定理
が導かれる.
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最終更新日:
2023年7月28日