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応用分野: テイラーの定理

積分を用いたテイラーの定理の導出

関数 f( x ) が, 閉区間 [ a,b ] で連続, 開区間 ( a,b ) において n 微分可能であるとする.

f ( b ) =f ( a ) + a b f ( x ) dx  ・・・・・・(1)

と表すことができる.

右辺の積分の項を 部分積分 をつかって以下のように計算する.

a b f ( x ) dx= a b 1· f ( x ) dx

= b a { ( bx ) } ' f ' ( x ) dx

(∵1を { ( bx ) } と考えている注)

= [ ( bx ) f ( x ) ] a b a b { ( bx ) } f ( x ) dx

(∵部分積分

= f (a) 1! ( ba ) + a b f (x) 1! · ( ba ) dx ・・・・・・(2)

注) 1の積分は x+C  であるが,後の計算過程をみると理解できるように, ( ba )  のべき級数を作るために積分定数 C b  に定めている.

(2)を(1)に代入すると

f ( b ) =f ( a ) + f ( a ) 1! ( ba ) + a b f ( x ) 1! · ( bx ) dx     ・・・・・・(3)

となる.(3)の右辺の積分を部分積分すると

a b f ( x ) 1! ·( bx )dx

= a b f ( x ) 1! · { 1 2 ( bx ) 2 } dx

= [ f ( x ) 1! ·{ 1 2 ( bx ) 2 } ] a b a b f ( 3 ) ( x ) 1! ·{ 1 2 ( bx ) 2 }dx

= f ( a ) 2! ( ba ) 2 + a b f ( 3 ) ( x ) 2! · ( bx ) 2 dx     ・・・・・・(4)

(4)を(3)に代入すると

f( b )=f( a )+ f ( a ) 1! ( ba )+ f ( a ) 2! ( ba ) 2 + a b f ( 3 ) ( x ) 2! · ( bx ) 2 dx

となる.同様な操作を繰り返すと

f( b )=f( a )+ f ( a ) 1! ( ba )+ f ( a ) 2! ( ba ) 2 ++ f ( n1 ) ( a ) ( n1 )! ( ba ) n1 + a b f ( n ) ( x ) ( n1 )! · ( bx ) n1 dx

が得られる.

開区間 ( a,b ) における f ( n ) ( x ) の最大値を M ,最小値を m とすると

a b m ( n1 )! · ( bx ) n1 dx a b f ( n ) ( x ) ( n1 )! · ( bx ) n1 dx a b M ( n1 )! · ( bx ) n1 dx

と表すことができる.

a b m ( n1 )! · ( bx ) n1 dx = m n! ( ba ) n  

a b M ( n1 )! · ( bx ) n1 dx = M n! ( ba ) n  

より

m n! ( ba ) n a b f ( n ) ( x ) ( n1 )! · ( bx ) n1 dx M n! ( ba ) n

よって

a b f ( n ) ( x ) ( n1 )! · ( bx ) n1 dx = f ( n ) ( c ) n! ( ba ) n  

となる, f ( n ) ( c )( m f ( n ) ( c )M,a<c<b ) が存在する.

以上より

f( b )=f( a )+ f ( a ) 1! ( ba )+ f ( a ) 2! ( ba ) 2 ++ f ( n1 ) ( a ) ( n1 )! ( ba ) n1 + f ( n ) ( c ) n! ( ba ) n

となり, テイラーの定理 が導かれる.

 

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最終更新日: 2023年7月28日

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