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応用分野: 2変数のテイラー(Taylor)の定理テイラー展開マクローリンの定理積分を用いたテイラーの定理の導出

テイラーの定理

関数 f( x ) が,閉区間 [ a,b ] で連続,開区間 ( a,b ) において n微分可能であるとき,

f b =f a + f a 1! ba + f a 2! ba 2 + + f n1 a n1 ! ba n1 + R n

R n = f ( n ) ( c ) n! ( ba ) n

となる c( a<c<b ) が存在する. (積分を用いたテイラーの定理の導出も参照すること).

■テイラー定理よりテイラー展開

テイラー定理の b を変数 xに置き換えて,

lim n R n =0  

が成り立つなら,関数 f( x ) は無限級数に展開できる.これがテイラー展開である. 

■定理の証明

f b =f a + f a 1! ba + f a 2! ba 2 + + f n1 a n1 ! ba n1 + P n! ba n  ・・・・・・(1)

とおく. (1)の右辺の a x に置き換えた関数 F( x ) を定義する. すなわち,

F x =f x + f x 1! bx + f x 2! bx 2 + + f n1 x n1 ! bx n1 + P n! bx n  ・・・・・・(2)

とする.

関数 F( x ) は,閉区間 [ a,b ] で連続,開区間 ( a,b ) において微分可能で,

F a =f a + f a 1! ba + f a 2! ba 2 + + f n1 a n1 ! ba n1 + P n! ba n

=f b  ・・・・・・(3)

F b =f b + f a 1! bb + f a 2! bb 2 + + f n1 a n1 ! bb n1 + P n! bb n

=f b  ・・・・・・(4)

である.よって,ロルの定理より,

F ( c )=0     ( a<c<b )  ・・・・・・(5)

を満たす c が必ず存在する.

(2)の両辺を x で微分する.

F ( x ) = f ( x )+ f ( x ) 1! ( bx )+ f ( x ) 1! ( 1 )+ f ( 3 ) ( x ) 2! ( bx ) 2 + f ( x ) 2! 2( bx )( 1 )+

+ f ( n ) ( x ) ( n1 )! ( bx ) n1 + f ( n1 ) ( x ) ( n1 )! ( n1 ) ( bx ) n ( 1 )+ P n! n ( bx ) n1 ( 1 )

= f ( x )+ f ( x ) 1! ( 1 )+ f ( x ) 1! ( bx )+ f ( x ) 2! 2( bx )( 1 )+ f ( 3 ) ( x ) 2! ( bx ) 2 +

+ f n1 ( x ) ( n1 )! ( n1 ) ( bx ) n ( 1 )+ f n ( x ) ( n1 )! ( bx ) n1 + P n! n ( bx ) n1 ( 1 )

= f n ( x ) ( n1 )! ( bx ) n1 + P n! n ( bx ) n1 ( 1 )  

= f n ( x ) ( n1 )! ( bx ) n1 P ( n1 )! ( bx ) n1  ・・・・・・(6)

となる.(6)より,

F ( c )= f n ( c ) ( n1 )! ( bc ) n1 P ( n1 )! ( bc ) n1  ・・・・・・(7)

と表わされ,(5),(7)より,

f n ( c ) ( n1 )! ( bc ) n1 P ( n1 )! ( bc ) n1 =0  ・・・・・・(8)

となり,よって,

P= f n ( c )  ・・・・・・(9)

となる.(9)を(1)に代入することにより,テイラーの定理が得られる.

 

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最終更新日: 2022年5月29日

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