テイラーの定理

関数 $f (x)$ が，閉区間 $[a, b]$ で連続，開区間 $(a, b)$ において $n$ 回微分可能であるとき，

$f (b) = f (a) + \frac{f^{'} (a)}{1!} (b - a)$ $+ \frac{f^{″} (a)}{2!} {(b - a)}^{2} + \dots \dots$ $+ \frac{f^{(n - 1)} (a)}{(n - 1)!} {(b - a)}^{n - 1} + R_{n}$

$R_{n} = \frac{f^{(n)} (c)}{n!} {(b - a)}^{n}$

となる $c (a < c < b)$ が存在する．（積分を用いたテイラーの定理の導出も参照すること）．

■テイラー定理よりテイラー展開へ

テイラー定理の $b$ を変数 $x$ に置き換えて，

$lim_{n \to \infty} R_{n} = 0$

が成り立つなら，関数 $f (x)$ は無限級数に展開できる．これがテイラー展開である．

■定理の証明

$f (b) = f (a) + \frac{f^{'} (a)}{1!} (b - a)$ $+ \frac{f^{″} (a)}{2!} {(b - a)}^{2} + \dots \dots$ $+ \frac{f^{(n - 1)} (a)}{(n - 1)!} {(b - a)}^{n - 1} + \frac{P}{n!} {(b - a)}^{n}$ ･･････(1)

とおく． (1)の右辺の $a$ を $x$ に置き換えた関数 $F (x)$ を定義する．すなわち，

$F (x) = f (x) + \frac{f^{'} (x)}{1!} (b - x)$ $+ \frac{f^{″} (x)}{2!} {(b - x)}^{2} + \dots \dots$ $+ \frac{f^{(n - 1)} (x)}{(n - 1)!} {(b - x)}^{n - 1} + \frac{P}{n!} {(b - x)}^{n}$ ･･････(2)

とする．

関数 $F (x)$ は，閉区間 $[a, b]$ で連続，開区間 $(a, b)$ において微分可能で，

$F (a) = f (a) + \frac{f^{'} (a)}{1!} (b - a)$ $+ \frac{f^{″} (a)}{2!} {(b - a)}^{2} + \dots \dots$ $+ \frac{f^{(n - 1)} (a)}{(n - 1)!} {(b - a)}^{n - 1} + \frac{P}{n!} {(b - a)}^{n}$

$= f (b)$ ･･････(3)

$F (b) = f (b) + \frac{f^{'} (a)}{1!} (b - b)$ $+ \frac{f^{″} (a)}{2!} {(b - b)}^{2} + \dots \dots$ $+ \frac{f^{(n - 1)} (a)}{(n - 1)!} {(b - b)}^{n - 1} + \frac{P}{n!} {(b - b)}^{n}$

$= f (b)$ ･･････(4)

である．よって，ロルの定理より，

$F^{'} (c) = 0$ $(a < c < b)$ ･･････(5)

を満たす $c$ が必ず存在する．

(2)の両辺を $x$ で微分する．

$F^{'} (x) = f^{'} (x) + \frac{{f^{'}}^{'} (x)}{1!} (b - x) + \frac{f^{'} (x)}{1!} (- 1) + \frac{f^{(3)} (x)}{2!} {(b - x)}^{2} + \frac{f^{″} (x)}{2!} 2 (b - x) (- 1) + \dots$

$\dots + \frac{f^{(n)} (x)}{(n - 1)!} {(b - x)}^{n - 1} + \frac{f^{(n - 1)} (x)}{(n - 1)!} (n - 1) {(b - x)}^{n} (- 1) + \frac{P}{n!} n {(b - x)}^{n - 1} (- 1)$

$= f^{'} (x) + \frac{f^{'} (x)}{1!} (- 1) + \frac{{f^{'}}^{'} (x)}{1!} (b - x) + \frac{f^{″} (x)}{2!} 2 (b - x) (- 1) + \frac{f^{(3)} (x)}{2!} {(b - x)}^{2} + \dots$

$\dots + \frac{f^{n - 1} (x)}{(n - 1)!} (n - 1) {(b - x)}^{n} (- 1) + \frac{f^{n} (x)}{(n - 1)!} {(b - x)}^{n - 1} + \frac{P}{n!} n {(b - x)}^{n - 1} (- 1)$

$= \frac{f^{n} (x)}{(n - 1)!} {(b - x)}^{n - 1} + \frac{P}{n!} n {(b - x)}^{n - 1} (- 1)$

$= \frac{f^{n} (x)}{(n - 1)!} {(b - x)}^{n - 1} - \frac{P}{(n - 1)!} {(b - x)}^{n - 1}$ ･･････(6)

となる．(6)より，

$F^{'} (c) = \frac{f^{n} (c)}{(n - 1)!} {(b - c)}^{n - 1} - \frac{P}{(n - 1)!} {(b - c)}^{n - 1}$ ･･････(7)

と表わされ，(5)，(7)より，

$\frac{f^{n} (c)}{(n - 1)!} {(b - c)}^{n - 1} - \frac{P}{(n - 1)!} {(b - c)}^{n - 1} = 0$ ･･････(8)

となり，よって，

$P = f^{n} (c)$ ･･････(9)

となる．(9)を(1)に代入することにより，テイラーの定理が得られる．

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最終更新日： 2022年5月29日