積分　{e^(2x)}sinx

${\displaystyle \int e^{2x}sinxdx}$  の積分を部分積分法を用いて計算する． 

${\displaystyle \begin{array}{ll}\int e^{2x}sinxdx\hfill & =\int {\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}\right)}^{\prime }sinxdx\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{2}{e}^{2x}sinx-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}{\left(sinx\right)}^{\prime }dx\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{2}{e}^{2x}sinx-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}cosxdx\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{2}{e}^{2x}sinx-\frac{1}{2}\int e^{2x}cosxdx\text{･･････(1)}\hfill \end{array}}$  

右辺の${\displaystyle \int e^{2x}cosxdx}$  も同様に部分積分法を用いて計算すると，

${\displaystyle \begin{array}{ll}\int e^{2x}cosxdx\hfill & =\int {\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}\right)}^{\prime }cosxdx\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{2}{e}^{2x}cosx-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}{\left(cosx\right)}^{\prime }dx\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{2}{e}^{2x}cosx-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}\left(-sinx\right)dx\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{2}{e}^{2x}cosx+\frac{1}{2}\int e^{2x}sinxdx\text{･･････(2)}\hfill \end{array}}$  

(2)を(1)に代入すると，

${\displaystyle \int e^{2x}sinxdx=\frac{1}{2}{e}^{2x}sinx-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}cosx+\frac{1}{2}\int e^{2x}sinxdx\right)}$  

${\displaystyle \int e^{2x}sinxdx}$  の積分が右辺にも現れた．

${\displaystyle \int e^{2x}sinxdx=I}$  とおいて，I  について解くと，

${\displaystyle \begin{array}{l}I=\frac{1}{2}{e}^{2x}sinx-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}cosx+\frac{1}{2}I\right)\\ I=\frac{1}{2}{e}^{2x}sinx-\frac{1}{4}{e}^{2x}cosx-\frac{1}{4}I\\ \left(1+\frac{1}{4}\right)I=\frac{e^{2x}}{4}\left(2sinx-cosx\right)\\ \frac{5}{4}I=\frac{e^{2x}}{4}\left(2sinx-cosx\right)\\ I=\frac{e^{2x}}{5}\left(2sinx-cosx\right)\end{array}}$  

したがって，

${\displaystyle \int e^{2x}sinxdx=\frac{e^{2x}}{5}(2sinx-cosx)+C}$

ただし，Cは定数 

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初版：2005年12月2日，最終更新日：2007年5月10日