積分　{e^(2x)}sinx

$\int e^{2 x} sin x d x$

部分積分法を用いて計算する．

$= \int {(\frac{1}{2} e^{2 x})}^{'} sin x d x$

$= \frac{1}{2} e^{2 x} sin x - \int \frac{1}{2} e^{2 x} {(sin x)}^{'} d x$

$= \frac{1}{2} e^{2 x} sin x - \int \frac{1}{2} e^{2 x} cos x d x$

$= \frac{1}{2} e^{2 x} sin x - \frac{1}{2} \int e^{2 x} cos x d x$ 　･･････(1)

右辺の $\int e^{2 x} cos x d x$ も同様に部分積分法を用いて計算すると

$\int e^{2 x} cos x d x$

$= \int {(\frac{1}{2} e^{2 x})}^{'} cos x d x$

$= \frac{1}{2} e^{2 x} cos x - \int \frac{1}{2} e^{2 x} {(cos x)}^{'} d x$

$= \frac{1}{2} e^{2 x} cos x - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- sin x) d x$

$= \frac{1}{2} e^{2 x} cos x + \frac{1}{2} \int e^{2 x} sin x d x$ 　･･････(2)

(2)を(1)に代入すると

$\int e^{2 x} sin x d x$ $= \frac{1}{2} e^{2 x} sin x - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{2 x} cos x + \frac{1}{2} \int e^{2 x} sin x d x)$

$\int e^{2 x} sin x d x$ の積分が右辺にも現れている．

$\int e^{2 x} sin x d x = I$ とおいて， $I$ について解くと

$I = \frac{1}{2} e^{2 x} sin x - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{2 x} cos x + \frac{1}{2} I)$

$I = \frac{1}{2} e^{2 x} sin x - \frac{1}{4} e^{2 x} cos x - \frac{1}{4} I$

$(1 + \frac{1}{4}) I = \frac{e^{2 x}}{4} (2 sin x - cos x)$

$\frac{5}{4} I = \frac{e^{2 x}}{4} (2 sin x - cos x)$

$I = \frac{e^{2 x}}{5} (2 sin x - cos x)$

したがって

$\int e^{2 x} sin x d x$ $= \frac{e^{2 x}}{5} (2 sin x - cos x) + C$

ただし， $C$ は定数

最終更新日：2023年10月4日