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ウォリス(ワリス)の公式: 積分 (sinx )^n  (cosx )^n

0 π 2 cos n xdx= 0 π 2 sin n xdx= n1 n · n3 n2 ··×{ π 2 1 n:偶数

n:奇数
    n1

この積分は,下図の赤の領域の面積を求めていることになる.
積分区間が0から π 2 でない場合は,周期性,対称性に注意して適用すること.

sin 2 x  のグラフ(青線: sinx  )
 
cos 2 x  のグラフ(青線: cosx  )
sin 3 x  のグラフ(青線: sinx  )
cos 3 x  のグラフ(青線: cosx  )
sin 4 x  のグラフ(青線: sinx  )
cos 4 x  のグラフ(青線: cosx  )

■計算例

0 2π cos 4 xdx= 4 0 π 2 cos 4 xdx= 4· 3 4 · 1 2 · π 2 = 3π 4  

π 2 π 2 cos 3 xdx= 2 0 π 2 cos 3 xdx=2 · 2 3 ·1= 4 3  

0 π sin 3 xdx= 2 0 π 2 sin 3 xdx=2 · 2 3 ·1= 4 3  

■式の導出

0 π 2 sin n xdx = I n  

とおく.部分積分によって,

I n = 0 π 2 ( sinx )( sin n1 x )dx = [ ( cosx )( sin n1 x ) ] 0 π 2 0 π 2 ( cosx )( n1 )( sin n2 x )cosxdx =( n1 ) 0 π 2 ( cos 2 x )( sin n2 x )dx =( n1 ) 0 π 2 ( 1 sin 2 x )( sin n2 x )dx =( n1 ) 0 π 2 ( sin n2 x )dx ( n1 ) 0 π 2 sin n xdx =( n1 ) I n2 ( n1 ) I n  

となる.よって,漸化式

I n =( n1 ) I n2 ( n1 ) I n I n = n1 n I n2  

が得られる.

I 0 = 0 π 2 dx = π 2   ,   I 1 = 0 π 2 sinxdx = [ cosx ] 0 π 2 =1  

であるので,

I 2n = 2n1 2n 2n3 2n2 ·· 1 2 · π 2   ( n が偶数の場合) 

I 2n = 2n 2n+1 2n2 2n1 ·· 2 3 ·1   ( n が奇数の場合) 

となる.次に,

0 π 2 cos n xdx  を求める. 

sinx=cos( π 2 x )   なので,置換積分を使って 0 π 2 sin n xdx   の結果を利用する.

π 2 x=t   ( dt dx =1dx=dt )  とおくと, x=0t= π 2 x= π 2 t=0  となるので,

0 π 2 sin n xdx = 0 π 2 cos ( π 2 x ) n xdx = π 2 0 cos n t( dt )= 0 π 2 costdt  

と計算できる.すなわち, 0 π 2 cosxdx = 0 π 2 sin n xdx  となる.  

 

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初版:2004年8月23日,最終更新日: 2010年12月24日

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