演習問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int 2x\log xdx}}$

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int x^3{e}^{x}dx}$

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int 2x{e}^{2x}dx}$ 　　

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int xsinxdx}$ 　 　

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int xcosxdx}$ 　　

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int e^{x}sinxdx}$ 　

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int \sqrt{x^2+5}dx}$ 　

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int log2xdx}$ 　

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int log\left(x+1\right)dx}$ 　

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int 2log\left(2x+1\right)dx}$ 　

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int {\left(log2x\right)}^{3}dx}$ 　

${\displaystyle {\displaystyle \int x\log 3xdx}}$

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle {\displaystyle \int {(\log x)}^2}dx}$

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int x{e}^x\mathit{dx}}$ 　

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int e^{2x}sinxdx}$ 　

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int sinxcosxdx}$ 　

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int sinxcosxdx}$ 　

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1{x}^2{e}^x}dx}$

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_2^{4}xlogxdx}$ 　

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xcos2xdx}$

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_0^{3}x{e}^{3x}dx}$ 　

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\displaystyle \underset{1}{\overset{4}{\int }}x{e}^{3x}}dx}$

曲線 ${\displaystyle y=\frac{1}{2}{x}^2}$　${\displaystyle \left(0\leqq x\leqq 1\right)}$ の長さを求めよ．

${\displaystyle y=x{e}^x(x\ge 0)}$ の逆関数を ${\displaystyle y=f(x)}$ とおく.

定積分 ${\displaystyle {\int }_0^{e}f(x)dx}$ を求めよ．

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D{e}^x\sin ydxdy}}$     ${\displaystyle \left(D:0\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq \pi x\right)}$

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D\left(x^2+y^2\right)e^{-x-y}}dxdy}$　　${\displaystyle (D:-2<x+y<2,-2<x-y<2)}$

次の関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ が，偶関数か奇関数かを判断し，偶関数ならは関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ余弦変換 ${\displaystyle F_x\left(\omega \right)}$ を，奇関数ならば関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ正弦変換 ${\displaystyle F_s\left(\omega \right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}x& \left(-1<x<1\right)\\ 0& \left(\left|x\right|\geqq 1\right)\end{array}\right.}$

次の関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ が，偶関数か奇関数かを判断し，偶関数ならは関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ余弦変換 ${\displaystyle F_x\left(\omega \right)}$ を，奇関数ならば関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ正弦変換 ${\displaystyle F_s\left(\omega \right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\left|x\right|& \left(-1<x<1\right)\\ 0& \left(\left|x\right|\geqq 1\right)\end{array}\right.}$

次の関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ が，偶関数か奇関数かを判断し，偶関数ならは関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ余弦変換 ${\displaystyle F_x\left(\omega \right)}$ を，奇関数ならば関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ正弦変換 ${\displaystyle F_s\left(\omega \right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}{e}^x& \left(x<0\right)\\ e^{-x}& \left(x\geqq 0\right)\end{array}\right.}$

次の関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ が，偶関数か奇関数かを判断し，偶関数ならは関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ余弦変換 ${\displaystyle F_x\left(\omega \right)}$ を，奇関数ならば関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ正弦変換 ${\displaystyle F_s\left(\omega \right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}-e^x& \left(x<0\right)\\ e^{-x}& \left(x\geqq 0\right)\end{array}\right.}$

この式に1が掛けられていると考えて部分積分をする

${\displaystyle {\displaystyle \int 1\cdot }\left({\tan }^{-1}y\right)dy}$${\displaystyle ={{\displaystyle \int \left(y\right)}}^{\prime }\left({\tan }^{-1}y\right)dy}$

${\displaystyle =y\left({\tan }^{-1}y\right)-{\displaystyle \int y\frac{1}{y^2+1}dy}}$

${\displaystyle I={\displaystyle \int e^x\sin xdx}={\displaystyle \int {\left(e^x\right)}^{\prime }\sin xdx}}$  とおき，部分積分をする．