問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

線形微分方程式に関する問題

${\displaystyle {\displaystyle \int e^x\sin xdx}}$  

■答

${\displaystyle I={\displaystyle \int e^x\sin xdx}={\displaystyle \int {\left(e^x\right)}^{\prime }\sin xdx}}$  とおき，部分積分をする．

${\displaystyle I}$	${\displaystyle ={\displaystyle \int {\left(e^x\right)}^{\prime }\sin xdx}}$
	${\displaystyle =e^x\sin x-{\displaystyle \int e^x\cos xdx}}$

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int e^x\cos xdx}={\displaystyle \int {\left(e^x\right)}^{\prime }\cos xdx}\\ \end{array}}$ とおき，もう一度部分積分を行う．

よって

${\displaystyle I=e^x\sin x-e^x\cos x-I}$  

右辺の${\displaystyle I}$ を移項すると

${\displaystyle 2I=e^x\sin x-e^x\cos x}$  

${\displaystyle I=\frac{1}{2}\left(e^x\sin x-e^x\cos x\right)}$  

したがって

${\displaystyle {\displaystyle \int e^x\sin xdx}=\frac{1}{2}{e}^x\left(\sin x-\cos x\right)}$

 

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>線形微分方程式に関する問題>> ${\displaystyle y^{\prime }=\sin x-y}$

最終更新日： 2023年10月9日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)