問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

フーリエ変換の問題

■問題

次の関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ が，偶関数か奇関数かを判断し，偶関数ならは関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ余弦変換 ${\displaystyle F_x\left(\omega \right)}$ を，奇関数ならば関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ正弦変換 ${\displaystyle F_s\left(\omega \right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}x& \left(-1<x<1\right)\\ 0& \left(\left|x\right|\geqq 1\right)\end{array}\right.}$

■解答

${\displaystyle F_s\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left(-\frac{1}{\omega }\cos \omega +\frac{1}{{\omega }^2}\sin \omega \right)}$

■解き方

${\displaystyle f\left(x\right)}$ は奇関数である．よって，フーリエ正弦変換${\displaystyle F_s\left(\omega \right)}$ を求める．

${\displaystyle F_s\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\sin \omega xdx}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{1}x\sin \omega xdx}}$

部分積分法を用いる

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{1}x{\left(-\frac{1}{\omega }\cos \omega x\right)}^{\prime }dx}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left\{-\frac{1}{\omega }\cos \omega +\frac{1}{\omega }{\left[\frac{1}{\omega }\sin \omega x\right]}_0^1\right\}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left(-\frac{1}{\omega }\cos \omega +\frac{1}{{\omega }^2}\sin \omega \right)}$

　

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最終更新日： 2023年7月6日

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