定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$\int_{0}^{3} x e^{3 x} d x$ 　

$\frac{1}{9} (8 e^{9} + 1)$ 　

$\int_{a}^{b} f (x) d x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ 　

$\int f (x) g^{'} (x) d x$ $= f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x$ 　

を用いる．

あらかじめ， $\int x e^{3 x} d x$ 　を求めておく．　

$\int x e^{3 x} d x = \int x {(\frac{1}{3} e^{3 x})}^{'} d x$ 　

として部分積分法を用いる．

与式 $= \int x {(\frac{1}{3} e^{3 x})}^{'} d x$ 　

$= x \cdot (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int x^{'} \cdot (\frac{1}{3} e^{3 x}) d x$ 　

（部分積分法の公式を適用する）

$= \frac{1}{3} x e^{3 x} - \int 1 \cdot (\frac{1}{3} e^{3 x}) d x$ 　

$= \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{3} \int e^{3 x} d x$ 　

（ $\frac{1}{3}$ を積分記号 $\int$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$= \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$ 　

（ $C$ は積分定数）
（これが $x e^{3 x}$ の原始関数である）

よって，定積分の計算式(ヒントの式(1))より

$\int_{0}^{3} x e^{3 x} d x = {[\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}]}_{0}^{3}$ 　

となる．

$= {[\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}]}_{0}^{3}$ 　

$= (e^{9} - \frac{1}{9} e^{9}) - (0 - \frac{1}{9})$ 　

$= \frac{8}{9} e^{9} + \frac{1}{9}$ 　

$= \frac{1}{9} (8 e^{9} + 1)$ 　

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月23日