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積分 (cosx)^3

cos 3 xdx

高次の三角関数の積分になるので,積分の計算手順より,三角関数の1次化のための公式を用いて次数を下げて積分が可能な形にもっていく.

cos 3 xdx = 3cosx+cos3x 4 dx = 3 4 cosxdx + 1 4 cos3xdx = 3 4 sinx+ 1 12 sin3x+C

C は積分定数) 

次に角の統一を図る.

3 4 sinx+ 1 12 sin3x+C = 3 4 sinx+ 1 12 ( sin2xcosx+cos2xsinx )+C = 3 4 sinx+ 1 12 { 2sinx cos 2 x+( cos 2 x sin 2 x )sinx }+C = 3 4 sinx+ 1 12 { 3sinx cos 2 x sin 3 x }+C = 3 4 sinx+ 1 12 { 3sinx( 1 sin 2 x ) sin 3 x }+C = 3 4 sinx+ 1 12 ( 3sinx4 sin 3 x )+C =sinx 1 3 sin 3 x+C

置換積分で解く方法もある.

cos 3 xdx = ( 1 sin 2 x )cosxdx

となるので, sinx=t  とおくと, dt dx =cosxcosxdx=dt  となる.よって,

( 1 sin 2 x )cosxdx = ( 1 t 2 )dt =t 1 3 t 3 +C =sinx 1 3 sin 3 x+C

C は積分定数) 

となり,同じ結果が得られる.

 

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 初版:2004年8月23,最終更新日: 2007年7月6日

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