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xy 平面上において D を有界な領域とする. D の境界は有限個の区分的に滑らかな閉曲線からなるものとする.この境界を C とし,正の向きを定める.関数 f(x,y), g(x,y) が閉領域 D で1回微分可能であるならば,次式が成り立つ.
∬D (gx(x,y)−fy(x,y))dxdy=∫C (f(x,y)dx+g(x,y)dy)
閉領域 D が縦線形領域 D :a≦x≦b,ψ(x)≦y≦ϕ(x) であるならば
−∬Dfy (x,y)dxdy=∫Cf(x,y)dx ・・・・・・(1) ⇒ 導出
同様に,横線形領域 D :c≦y≦d, ξ(y)≦x≦ζ(y) であるならば
∬Dgx(x,y)dxdy=∫Cg(x,y)dy ・・・・・・(2) ⇒ 導出
が成り立つ.
(1),(2)の辺々を加えると
∬Dgx(x,y)dxdy−∬Dfy(x,y)dxdy=∫Cf(x,y)dx+∫Cg(x,y)dy
∬D(gx(x,y)−fy(x,y))dxdy=∫C(f(x,y)dx+g(x,y)dy)
が得られる.
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学生スタッフ作成
最終更新日:
2023年8月2日