重積分における変数変換

2重積分の変数変換
$x = x (u, v)$ ， $y = y (u, v)$ ， $(x, y) \in D$ ， $(u, v) \in D^{'}$

によって $u v$ 平面の集合 $D^{'}$ が $x y$ 平面の集合 $D$ に1対1に移るとすれば

$\iint_{D} f (x, y) d x d y$ $= \iint_{D^{'}} f (x (u, v), y (u, v)) |J| d u d v$

の関係がある．⇒ 導出
3重積分の変数変換

$x = x (u, v, w)$ ， $y = y (u, v, w)$ ， $z = z (u, v, w)$ ， $(x, y, z) \in D$ ， $(u, v, w) \in D^{'}$

によって $u v w$ 空間の集合 $D^{'}$ が $x y z$ 空間の集合 $D$ に1対1に移るとすれば

$∭_{D} f (x, y, z) d x d y d z$ $= ∭_{D^{'}} f (x (u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) |J| d u d v d w$

の関係がある．
座標変換の関数行列式
$x = r cos θ$ ， $y = r sin θ$ のとき $\frac{\partial (x, y)}{\partial (r, θ)} = r$

$x = r cos θ$ ， $y = r sin θ$ ， $z = z$ のとき $\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (r, θ, z)} = r$

$x = r sin θ cos φ$ ， $y = r sin θ sin φ$ ， $z = r cos θ$ のとき $\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (r, θ, φ)} = r^{2} sin θ$
極座標に関する2重積分

$x = r cos θ$ ， $y = r sin θ$ $(r ≧ 0)$ によって $r θ$ 平面の集合 $D^{'}$ が $x y$ 平面の集合 $D$ に1対1に移れば

$\iint_{D} f (x, y) d x d y$ $= \iint_{D^{'}} f (r cos θ, r sin θ) r d r d θ$

の関係がある．

円柱座標に関する3重積分
$x = r cos θ$ ， $y = r sin θ$ ， $z = z$ $(r ≧ θ)$ によって集合 $D^{'}$ の要素 $(r, θ, z)$ が集合 $D$ の要素 $(x, y, z)$ に1対1の対応で移るとき

$∭_{D} f (x, y, z) d x d y d z$ $= ∭_{D^{'}} f (r cos θ, r sin θ, z) r d r d θ d z$

の関係がある．
球座標に関する3重積分

$x = r \sin θ \cos ϕ$ ， $y = r \sin θ \sin ϕ$ ， $z = r \cos θ$ $(r ≧ 0, 0 ≦ θ ≦ π, 0 ≦ ϕ ≦ 2 π)$ によって集合 $D^{'}$ の要素 $(r, θ, φ)$ が集合 $D$ の要素 $(x, y, z)$ に1対1の対応で移るとき

$∭_{D} f (x, y, z) d x d y d z$ $= ∭_{D^{'}} f (r \sin θ \cos ϕ, r \sin θ \sin ϕ, r \cos θ) r^{2} \sin θ d r d θ d ϕ$

の関係がある．

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最終更新日： 2025年4月26日