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重積分における変数変換

  • 2重積分の変数変換

    x=x(u,v)y=y(u,v)(x,y)D(u,v)D

    によってuv 平面の集合Dxy 平面の集合D に1対1に移るとすれば

    Df(x,y)dxdy=Df(x(u,v),y(u,v))|J|dudv

    の関係がある. 導出

  • 3重積分の変数変換

    x=x(u,v,w)y=y(u,v,w)z=z(u,v,w)(x,y,z)D(u,v,w)D

    によってuvw 空間の集合Dxyz 空間の集合D に1対1に移るとすれば

    Df(x,y,z)dxdydz=Df(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|dudvdw

    の関係がある.

  • 座標変換の関数行列式

    x=rcosθy=rsinθのとき(x,y)(r,θ)=r

    x=rcosθy=rsinθz=zのとき(x,y,z)(r,θ,z)=r

    x=rsinθcosφy=rsinθsinφz=rcosθのとき(x,y,z)(r,θ,φ)=r2sinθ

  • 極座標に関する2重積分
  • x=rcosθy=rsinθ (r0)によってrθ平面の集合Dxy 平面の集合Dに1対1に移れば

    Df(x,y)dxdy=Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ

    の関係がある.

  • 円柱座標に関する3重積分

    x=rcosθy=rsinθz=z (rθ)によって集合Dの要素(r,θ,z)が集合Dの要素(x,y,z)に1対1の対応で移るとき

    Df(x,y,z)dxdydz=Df(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz

    の関係がある.

  • 球座標に関する3重積分
  • x=rsinθcosϕy=rsinθsinϕz=rcosθ  (r0,0θπ,0ϕ2π) によって集合Dの要素(r,θ,φ)が集合Dの要素(x,y,z)に1対1の対応で移るとき

    Df(x,y,z)dxdydz=Df(rsinθcosϕ,rsinθsinϕ,rcosθ)r2sinθdrdθdϕ

    の関係がある.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2024年10月7日

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