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累次積分

累次積分による重積分の計算

• ${\displaystyle D:a\leqq x\leqq b,\varphi \left(x\right)\leqq y\leqq \psi \left(x\right)}$ とするとき

  ${\displaystyle {\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}$ ${\displaystyle ={\int }_a^b\left\{{\int }_{\varphi \left(x\right)}^{\psi \left(x\right)}f\left(x,y\right)dy\right\}dx}$

• ${\displaystyle D}$ が次の２通りの方法で表せるとする．

  ${\displaystyle a\leqq x\leqq b,\varphi \left(x\right)\leqq y\leqq \psi \left(x\right)}$

  ${\displaystyle c\leqq y\leqq d,\alpha \left(y\right)\leqq x\leqq \beta \left(y\right)}$

  このとき

  ${\displaystyle {\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}$ ${\displaystyle ={\int }_a^{b}dx{\int }_{\varphi \left(x\right)}^{\psi \left(x\right)}f\left(x,y\right)dy}$

  ${\displaystyle {\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}$ ${\displaystyle ={\int }_c^{d}dy{\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)}f\left(x,y\right)dx}$

• 有界閉集合上の３重積分

  ${\displaystyle {\iiint }_{D}f\left(x,y,z\right)dxdydz}$ ${\displaystyle ={\int }_{a_1}^{a_2}dx{\iint }_{D_x}f\left(x,y,z\right)dydz}$

  ${\displaystyle {\iiint }_{D}f\left(x,y,z\right)dxdydz}$ ${\displaystyle ={\int }_{a_1}^{a_2}dx{\int }_{{\varphi }_1\left(x\right)}^{{\varphi }_2\left(x\right)}dy{\int }_{{\psi }_1\left(x,y\right)}^{{\psi }_2\left(x,y\right)}f\left(x,y,z\right)dz}$

 

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最終更新日： 2025年4月26日

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