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体積・曲面積

体積，曲面積は重積分により求めることができる．

• 体積の公式

  ${\displaystyle V={\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}$

• 断面積の積分

  ${\displaystyle D:a\leqq x\leqq b,\phi \left(x\right)\leqq y\leqq \psi \left(x\right)}$ ならば，曲面 ${\displaystyle z=f\left(x,y\right)\geqq 0}$ までの ${\displaystyle D}$ の上の部分の体積 ${\displaystyle V}$ は

  ${\displaystyle V={\int }_a^{b}S\left(x\right)dx,S\left(x\right)}$ ${\displaystyle ={\int }_{\phi \left(x\right)}^{\psi \left(x\right)}f\left(x,y\right)dy}$

• 面積・体積

  ${\displaystyle D}$ が平面上の集合ならば， ${\displaystyle D}$ の面積 ${\displaystyle A\left(D\right)}$ は

  ${\displaystyle A\left(D\right)={\displaystyle {\iint }_{D}dxdydz}}$

  ${\displaystyle D}$ が空間の集合ならば， ${\displaystyle D}$ の体積 ${\displaystyle V\left(D\right)}$ は

  ${\displaystyle V\left(D\right)={\iiint }_{D}dxdydz}$

• 表面積

  曲面 ${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$ の ${\displaystyle D}$ 上の部分の表面積 ${\displaystyle S}$ は

  ${\displaystyle S={\iint }_D\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy}$

• 極座標による表面積

  ${\displaystyle x=rcos\theta }$ ， ${\displaystyle y=rsin\theta }$ ${\displaystyle \left(r\geqq 0\right)}$ によって $xy$ 平面上の集合 ${\displaystyle D}$ が ${\displaystyle r\theta }$ 平面の集合 ${\displaystyle D\text{'}}$ に移れば，曲面 ${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$ の ${\displaystyle D}$ 上にある部分の表面積 ${\displaystyle S}$ は

  ${\displaystyle S={\iint }_{D\text{'}}\sqrt{r^2+{\left(r{z}_r\right)}^2+z_{\theta }^2}drd\theta }$

• 回転面の表面積 $xy$ 平面上の曲線 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ ${\displaystyle \left(a\leqq x\leqq b\right)}$ が $x$ 軸のまわりに回転してできる回転面の表面積 ${\displaystyle S}$ は

  ${\displaystyle S=2\pi {\int }_a^{b}f\left(x\right)\sqrt{1+f\text{'}{\left(x\right)}^2}dx}$

 

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年4月26日

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