重積分の基本公式

• ${\displaystyle {\iint }_{D}kf\left(x,y\right)dxdy}$ ${\displaystyle =k{\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}$
• ${\displaystyle \underset{D}{{\displaystyle \iint }}\left\{f\left(x,y\right)d\pm g\left(x,y\right)\right\}dxdy}$ ${\displaystyle =\underset{D}{{\displaystyle \iint }}f\left(x,y\right)dxdy\pm \underset{D}{{\displaystyle \iint }}g\left(x,y\right)dxdy}$
• 領域 ${\displaystyle D}$ を ${\displaystyle D_1}$ , ${\displaystyle D_2}$ に分割する場合

  ${\displaystyle {\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}$ ${\displaystyle ={\iint }_{D1}f\left(x,y\right)dxdy+{\iint }_{D2}f\left(x,y\right)dxdy}$

• 領域 ${\displaystyle D}$ 上で， ${\displaystyle f\left(x,y\right)\geqq g\left(x,y\right)}$ ならば

  ${\displaystyle {\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}$ ${\displaystyle \geqq {\iint }_{D}g\left(x,y\right)dxdy}$

${\displaystyle {\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy\leqq \left|{\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy\right|\leqq {\iint }_D\left|f\left(x,y\right)\right|dxdy}$
• ${\displaystyle K}$ を長方形： ${\displaystyle a\leqq x\leqq b,c\leqq y\leqq d}$ とするとき

  ${\displaystyle {\iint }_{k}f\left(x,y\right)dxdy={\int }_c^d\left\{{\int }_a^{b}f\left(x,y\right)dx\right\}dy}$

  または

  ${\displaystyle {\iint }_{k}f\left(x,y\right)dxdy={\int }_a^b\left\{{\int }_c^{d}f\left(x,y\right)dy\right\}dx}$

• ${\displaystyle K}$ を3次元の直方体 ${\displaystyle a_1\leqq x\leqq b_1,a_2\leqq y\leqq b_2,a_3\leqq z\leqq b_3}$ とするとき

  ${\displaystyle {\iiint }_{K}f\left(x,y,z\right)dxdydz}$ ${\displaystyle ={\int }_{a_3}^{b_3}dz{\int }_{a_2}^{b_2}dy{\int }_{a_1}^{b_1}f\left(x,y,z\right)dx}$

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年4月26日

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