重積分の応用

• 平均値

  ${\displaystyle \frac{{\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}{{\iint }_{D}dxdy}}$，${\displaystyle \frac{{\iiint }_{E}f\left(x,y,z\right)dxdydz}{{\iiint }_{E}dxdydz}}$

  をそれぞれ，${\displaystyle D}$，${\displaystyle E}$における${\displaystyle f\left(x,y\right),f\left(x,y,z\right)}$の平均値という

• 平面領域の重心

  ${\displaystyle D}$の質量${\displaystyle M}$は

  ${\displaystyle M={\displaystyle {\iint }_D\rho \left(x,y\right)dxdy}}$

  ${\displaystyle D}$の重心${\displaystyle G\left(\overline{x},\overline{y}\right)}$は

  ${\displaystyle \overline{x}=\frac{1}{M}{\displaystyle {\iint }_{D}x\rho \left(x,y\right)dxdy}}$ ， ${\displaystyle \overline{y}=\frac{1}{M}{\displaystyle {\iint }_{D}y\rho \left(x,y\right)dxdy}}$

• 空間の領域の重心

  ${\displaystyle E}$の質量は

  ${\displaystyle M={\iiint }_E\rho \left(x,y,z\right)dxdydz}$

  ${\displaystyle E}$の重心${\displaystyle G\left(\overline{x},\overline{y},\overline{z}\right)}$は

  ${\displaystyle \overline{x}=\frac{1}{M}{\displaystyle {\iiint }_{E}x\rho \left(x,y,z\right)dxdydz}}$，${\displaystyle \overline{y}=\frac{1}{M}{\displaystyle {\iiint }_{E}y\rho \left(x,y,z\right)dxdydz}}$，${\displaystyle \overline{z}=\frac{1}{M}{\displaystyle {\iiint }_{E}z\rho \left(x,y,z\right)dxdydz}}$

• 慣性モーメント

  直線lのまわりの慣性モーメント${\displaystyle I_l}$は

  ${\displaystyle I_l={\displaystyle {\iiint }_E\rho \left(x,y,z\right)P{\left(x,y,z\right)}^{2}dxdydz}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\iiint }_E\rho P^{2}dxdydz}}$

  とくに，$x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸のまわりの慣性モーメントはそれぞれ${\displaystyle I_x}$，${\displaystyle I_y}$，${\displaystyle I_z}$とすると

  ${\displaystyle I_x={\displaystyle {\iiint }_E\rho \cdot \left(y^2+z^2\right)dxdydz}}$， ${\displaystyle I_y={\displaystyle {\iiint }_E\rho \cdot \left(x^2+z^2\right)dxdydz}}$， ${\displaystyle I_z={\displaystyle {\iiint }_E\rho \cdot \left(x^2+y^2\right)dxdydz}}$

• 平面領域の慣性モーメント

  $xy$ 平面上の領域${\displaystyle D}$の空間にある直線$l$ のまわりの慣性モーメント${\displaystyle I_l}$は

  ${\displaystyle I_l={\iint }_D\rho \left(x,y\right)p{\left(x,y\right)}^{2}dxdy}$${\displaystyle ={\iint }_D\rho \cdot p^{2}dxdy}$

  とくに，座標軸のまわりの慣性モーメントは

  ${\displaystyle I_x={\iint }_D\rho \cdot y^{2}dxdy}$，${\displaystyle I_y={\iint }_D\rho \cdot x^{2}dxdy}$

  ${\displaystyle I_z={\iint }_D\rho \cdot \left(x^2+y^2\right)dxdy=I_x+I_y}$

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最終更新日： 2024年10月7日

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