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グリーンの定理

xy 平面上において D を有界な領域とする. D の境界は有限個の区分的に滑らかな閉曲線からなるものとする.この境界を C とし,正の向きを定める.関数 f( x,y ),g( x,y ) が閉領域 D で1回微分可能であるならば,次式が成り立つ.

D ( g x ( x,y ) f y ( x,y ) )dxdy = C ( f( x,y )dx+g( x,y )dy )

■導出

閉領域 D が縦線形領域 D: axb ψ( x )yϕ( x ) であるならば

D f y ( x,y )dxdy = C f( x,y )dx   ・・・・・・(1)  導出

同様に,横線形領域 D :cydξ( y)xζ( y ) であるならば

D g x ( x,y )dxdy = C g( x,y )dy   ・・・・・・(2)  導出

が成り立つ.

(1),(2)の辺々を加えると

D g x ( x,y )dxdy D f y ( x,y )dxdy = C f( x,y )dx + C g( x,y )dy

D ( g x ( x,y ) f y ( x,y ) )dxdy = C ( f( x,y )dx+g( x,y )dy )

が得られる.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年8月2日

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