指数関数

a > 0

$a > 0$ ，

a \neq 1

$a \neq 1$ とするとき，

x

$x$ の関数

$y = a^{x}$ $y = a^{x}$

を $a$ $a$ を底とする指数関数という．

（任意の $x$ $x$ に対して $a^{x}$ $a^{x}$ の値が定まるので， $a^{x}$ $a^{x}$ は $x$ $x$ の関数である）

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$x$ $x$ の値が増加すれば， $y$ $y$ の値も増加する単調増加である（単調増加関数）．

すなわち，

$x_{1} > x_{2} \Leftrightarrow a^{x_{1}} > a^{x_{2}}$ $x_{1} > x_{2} \Leftrightarrow a^{x_{1}} > a^{x_{2}}$

（大小関係はかわらない）

$x$ $x$ の値が減少すると，グラフは $x$ $x$ 軸に限りなく近づく（ $x$ $x$ 軸が漸近線）

$x$ $x$ の値が増加すれば， $y$ $y$ の値は減少する単調減少である（単調減少関数）．　

すなわち，

$x_{1} > x_{2} \Leftrightarrow a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$ $x_{1} > x_{2} \Leftrightarrow a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$

（大小関係は逆になる）

$x$ $x$ の値が増加すると，グラフは $x$ $x$ 軸に限りなく近づく（ $x$ $x$ 軸が漸近線）

定義域：実数全体　，　値域：正の数全体
グラフは点 $(0, 1)$ $(0, 1)$ を通る．
$a^{x_{1}} = a^{x_{2}} \Leftrightarrow x_{1} = x_{2}$ $a^{x_{1}} = a^{x_{2}} \Leftrightarrow x_{1} = x_{2}$ （ $y = a^{x}$ $y = a^{x}$ は単調増加あるいは単調減少するので， $x$ $x$ と $y$ $y$ は1対1の関係であることによる．）
$y = a^{x}$ $y = a^{x}$ と $y = {(\frac{1}{a})}^{x}$ $y = {(\frac{1}{a})}^{x}$ すなわち， $y = a^{x}$ $y = a^{x}$ と $y = a^{- x}$ $y = a^{- x}$ は $x$ $x$ 軸に対して対称である．

具体的な指数関数のグラフを示す．

最終更新日： 2024年5月17日