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${\displaystyle \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}}$ の証明

${\displaystyle \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=x}$  とおく．

まず，両辺をn  乗する．

${\displaystyle {\left(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\right)}^n=x^n}$

指数法則 ${\displaystyle {\left(pq\right)}^n=p^n{q}^n}$  を用いると

${\displaystyle {\left(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\right)}^n={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n{\left(\sqrt[n]{b}\right)}^n=ab}$

よって

${\displaystyle x^n=ab}$

また

${\displaystyle ab>0}$，${\displaystyle x>0}$

であるので，累乗根の定義より

${\displaystyle x=\sqrt[n]{ab}}$

すなわち

${\displaystyle \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}}$

となる．

 

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最終更新日： 2023年7月28日

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