剰余定理

整式 $F (x)$ $F (x)$ を $x - α$ $x - α$ で割ったときの余りを $r$ $r$ とすると

$F (α) = r$ $F (α) = r$

となる．余りは除数よりも次数が低くなるので， $r$ $r$ は $x$ $x$ を含まない．

言い換えると，整式 $F (x)$ $F (x)$ を $x - a$ $x - a$ で割ったときの余りは $F (a)$ $F (a)$ と等しくなる．

■解説

整式 $F (x)$ $F (x)$ を $x - α$ $x - α$ で割ったときの商を $Q (x)$ $Q (x)$ ，余りを $r$ $r$ とすると

$F (x) = (x - α) Q (x) + r$ $F (x) = (x - α) Q (x) + r$

と表すことができる．この整式 $F (x)$ $F (x)$ の $x$ $x$ に $α$ $α$ を代入すると，

$F (α) = (α - α) Q (α) + r = r$ $F (α) = (α - α) Q (α) + r = r$

となり，剰余定理が導かれる．

具体的な例で確かめて見よう．

$F (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ $F (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ を $x - 2$ $x - 2$ で割ったときの商と余りを求めてみる．

$\begin{array}{l} 2 x + 1 \\ x - 2) \bar{2 x^{2} - 3 x + 1} \\ 2 x^{2} - 4 x \\ \bar{x + 1} \\ x - 2 \\ \bar{3} \end{array}$

$2 x^{2} - 3 x + 1 = (x - 2) (2 x + 1) + 3$ 　

商： $Q (x) = 2 x + 1$ ，余り： $r = 3$ 　となりました．

一方，　

$F (2) = 2 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 + 1 = 3$ 　

となり，剰余の定理通りになっていることが確かめられました．　

最終更新日： 2023年7月14日