対称式

${\displaystyle a,b,c,\cdots }$ についての多項式で， ${\displaystyle a,b,c,\cdots }$ のどの2つを入れ替えても，もとの式と同じになるものを ${\displaystyle a,b,c,\cdots }$ の対称式という．

■具体例

• ${\displaystyle a,b}$ の対称式

  • ${\displaystyle a^2-ab+b^2}$
  • ${\displaystyle {\left(ab\right)}^2-a-b}$

• ${\displaystyle a,b,c}$ の対称式

  • ${\displaystyle a^2+b^2+c^2}$
  • ${\displaystyle a^{2}bc+b^{2}ca+c^{2}ab}$

${\displaystyle a,b}$ では，

${\displaystyle a+b,ab}$

${\displaystyle a,b,c}$ では

${\displaystyle a+b+c,ab+bc+ca,abc}$

を基本対称式という．一般に，対称式はその基本対称式で表すことができる．

■具体例

• ${\displaystyle a^2-ab+b^2={\left(a+b\right)}^2-3ab}$
• ${\displaystyle {\left(ab\right)}^2-a-b={\left(ab\right)}^2-\left(a+b\right)}$
• ${\displaystyle a^2+b^2+c^2}$ ${\displaystyle ={\left(a+b+c\right)}^2-2\left(ab+bc+ca\right)}$
• ${\displaystyle a^{2}bc+b^{2}ca+c^{2}ab=abc\left(a+b+c\right)}$

対称式を基本対称式で表すことにより，計算が簡単になる場合がよくある．

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最終更新日： 2026年10月6日

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