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部分分数分解の一意性(1)

${\displaystyle m}$ 次の整式 ${\displaystyle F\left(x\right)}$ と ${\displaystyle n}$ 次の整式 ${\displaystyle G\left(x\right)}$ からなる有利関数（ただし， ${\displaystyle m>n}$ ）

${\displaystyle \frac{G\left(x\right)}{F\left(x\right)}}$

において， ${\displaystyle F\left(x\right)=P\left(x\right)Q\left(x\right)}$ に因数分解され ${\displaystyle }$ ， ${\displaystyle P\left(x\right)}$ と ${\displaystyle Q\left(x\right)}$ は互いに素（共通因数をもたない）であるとすると ， ${\displaystyle \frac{G\left(x\right)}{F\left(x\right)}}$ は

${\displaystyle \frac{G\left(x\right)}{F\left(x\right)}=\frac{A\left(x\right)}{P\left(x\right)}+\frac{B\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}$

と ${\displaystyle P\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle Q\left(x\right)}$ を分母とする分数 ${\displaystyle }$ ，いわゆる部分分数に一意に分解できる．

このとき，整式 ${\displaystyle A\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle B\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle P\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle Q\left(x\right)}$ の次数を ${\displaystyle i_A}$ ， ${\displaystyle j_B}$ ， ${\displaystyle k_P}$ ， ${\displaystyle l_Q}$ とすると

${\displaystyle i_A<k_P}$ ， ${\displaystyle j_B<l_Q}$ ， ${\displaystyle k_P+l_Q=m}$

である．

■証明

${\displaystyle k_P\geqq l_Q}$ として， ${\displaystyle P\left(x\right)}$ を ${\displaystyle Q\left(x\right)}$ で割ったときの商を ${\displaystyle S_1\left(x\right)}$ 余りを ${\displaystyle R_1\left(x\right)}$ とすると

${\displaystyle P\left(x\right)=S_1\left(x\right)Q\left(x\right)+R_1\left(x\right)}$ ･･････(1)

と表すことができる．

${\displaystyle S_1\left(x\right)}$ の次数を， ${\displaystyle s_1}$ ， ${\displaystyle R_1\left(x\right)}$ の次数を ${\displaystyle r_1}$ とすると

${\displaystyle k_P=s_1+l_Q}$ ， ${\displaystyle r_1<l_Q}$

の関係がある．

また，(1)より

${\displaystyle R_1\left(x\right)=P\left(x\right)-S_1\left(x\right)Q\left(x\right)}$ ･･････(2)

となる．

次に， ${\displaystyle Q\left(x\right)}$ を ${\displaystyle R_1\left(x\right)}$ で割ったときの商を ${\displaystyle S_2\left(x\right)}$ ，余りを ${\displaystyle R_2\left(x\right)}$ とすると

${\displaystyle Q\left(x\right)=S_2\left(x\right)R_1\left(x\right)+R_2(x) }$ ･･････(3)

と表すことができる．

${\displaystyle S_2\left(x\right)}$ の次数を ${\displaystyle s_2}$ ， ${\displaystyle R_2\left(x\right)}$ の次数を ${\displaystyle r_2}$ とすると

${\displaystyle l_Q=s_2+r_1}$ ， ${\displaystyle r_2<r_1}$

の関係がある．

また，(3)より

${\displaystyle R_2\left(x\right)=Q\left(x\right)-S_2\left(x\right)R_1\left(x\right)}$ ･･････(4)

と表すことができる．

このような操作を余りの次数が0次，すなわち余りが定数項のみになるまで繰り返す．

${\displaystyle R_3\left(x\right)=R_1\left(x\right)-S_3\left(x\right)R_2\left(x\right)}$ ･･････(5-1)

${\displaystyle R_4\left(x\right)=R_2\left(x\right)-S_4\left(x\right)R_3\left(x\right)}$ ･･････(5-2)

　　・・・

となり

${\displaystyle R_n(x)}$ の次数 ${\displaystyle r_n}$ は0である（ ${\displaystyle r_n}$ =0）．よって

${\displaystyle R_n(x)=C}$ ･･････(6)

${\displaystyle C}$ はある値）

となる．(2)を(4)に代入する．

(5-1)に(2)と(7)を代入する．

このような操作を繰り返すと，一般に以下のように表すことができる．

${\displaystyle R_n\left(x\right)=T_n\left(x\right)P\left(x\right)+U_n\left(x\right)Q\left(x\right)}$ ･･････(9)

${\displaystyle T_n\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle U_n\left(x\right)}$ は多項式

(9)に(6)を代入すると

${\displaystyle T_n\left(x\right)P\left(x\right)+U_n\left(x\right)Q\left(x\right)=C}$ ･･････(10) 　

の形で表される．(10)の両辺を ${\displaystyle C}$ で割ると

${\displaystyle \frac{1}{C}\left\{T_n\left(x\right)P\left(x\right)+U_n\left(x\right)Q\left(x\right)\right\}=1}$

${\displaystyle \frac{1}{C}{T}_n\left(x\right)=V\left(x\right),\frac{1}{C}{U}_n\left(x\right)=W\left(x\right)}$ とおくと

${\displaystyle V\left(x\right)P\left(x\right)+W\left(x\right)Q\left(x\right)=1}$ ･･････(11)

となる．

(11)の両辺に ${\displaystyle \frac{G\left(x\right)}{F\left(x\right)}}$ をかける．

(12)の左辺の ${\displaystyle F\left(x\right)}$ に ${\displaystyle F\left(x\right)=P\left(x\right)Q\left(x\right)}$ を代入する．

${\displaystyle G\left(x\right)W\left(x\right)}$ を ${\displaystyle P\left(x\right)}$ で割ったときの商を ${\displaystyle X\left(x\right)}$ , 余りを ${\displaystyle A\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle G\left(x\right)V\left(x\right)}$ を ${\displaystyle Q\left(x\right)}$ で割ったときの商を ${\displaystyle Y\left(x\right)}$ , 余りを ${\displaystyle B\left(x\right)}$ とすると ( ${\displaystyle A\left(x\right)}$ は ${\displaystyle P\left(x\right)}$ より低次数, ${\displaystyle B\left(x\right)}$ は ${\displaystyle Q\left(x\right)}$ より低次数となる. )

${\displaystyle G\left(x\right)W\left(x\right)=X\left(x\right)P\left(x\right)+A\left(x\right)}$ ･･････(14)

${\displaystyle G\left(x\right)V\left(x\right)=Y\left(x\right)Q\left(x\right)+B\left(x\right)}$ ･･････(15)

となる．(14)に(15), (13)を代入する.

${\displaystyle P\left(x\right)Q\left(x\right)}$ の次数は ${\displaystyle k_P+l_Q=m}$ で分子の次数（ ${\displaystyle G\left(x\right)}$ の次数） ${\displaystyle n}$ より大きい．よって

${\displaystyle Y\left(x\right)+X\left(x\right)=0}$

となる．よって，(16)は

${\displaystyle \frac{B\left(x\right)P\left(x\right)+A\left(x\right)Q\left(x\right)}{Q\left(x\right)P\left(x\right)}=\frac{G\left(x\right)}{F\left(x\right)}}$
${\displaystyle \frac{G\left(x\right)}{F\left(x\right)}=\frac{A\left(x\right)}{P\left(x\right)}+\frac{B\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}$ ･･････(17) 　

となり， ${\displaystyle \frac{G\left(x\right)}{F\left(x\right)}}$ は，と ${\displaystyle P\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle Q\left(x\right)}$ を分母とする分数 ${\displaystyle }$ ，いわゆる部分分数に一意に分解できる．

${\displaystyle \frac{A_1\left(x\right)}{P\left(x\right)}+\frac{B_1\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{A_2\left(x\right)}{P\left(x\right)}+\frac{B_2\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}$ ･･････(18) 　

とおく．(18)を以下のように変形する．

${\displaystyle A_1\left(x\right)-A_2\left(x\right)}$ が整式になるためには

(i) ${\displaystyle B_1\left(x\right)-B_2\left(x\right)=0}$ で ${\displaystyle A_1\left(x\right)-A_2\left(x\right)=0}$ となる場合

あるいは

(ii) ${\displaystyle B_1\left(x\right)-B_2\left(x\right)}$ が ${\displaystyle Q\left(x\right)}$ を因数として含む場合

である．

(ii)の場合

${\displaystyle B_1\left(x\right)-B_2\left(x\right)=Q\left(x\right)B_3\left(x\right)}$

とおくと

${\displaystyle A_1\left(x\right)-A_2\left(x\right)=-B_3\left(x\right)P\left(x\right)}$ ･･････(20)

となる．(20)の左辺の次数の最大値は， ${\displaystyle A_1\left(x\right)}$ の次数，あるいは， ${\displaystyle A_2\left(x\right)}$ である．

一方，(20)の右辺の次数の最小値は， ${\displaystyle P\left(x\right)}$ の次数である．

${\displaystyle A_1\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle A_2\left(x\right)}$ の次数は， ${\displaystyle P\left(x\right)}$ の次数より低い．よって(20)が成り立つことはない．すなわち，(ii)の場合は存在せず，(i)の場合だけである．

したがって

${\displaystyle A_1\left(x\right)=A_2\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle B_1\left(x\right)=B_2\left(x\right)}$

となり，部分分数分解は一意に決まる．

　

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最終更新日： 2025年1月6日

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