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部分分数分解の一意性

m 次の整式 F( x ) n 次の整式 G( x ) からなる有利関数.

F( x )=P( x )Q( x ) 因数分解され P( x ) Q( x ) は互いに素(共通因数をもたない)であるとすると

G( x ) F( x )  

において , m>n であり G ( x ) F ( x )

G( x ) F( x ) = A( x ) P( x ) + B( x ) Q( x )  

P( x ) Q( x ) を分母とする分数 ,いわゆる部分分数に一意に分解できる

このとき,整式 A( x ) B( x ) P( x ) Q( x ) 次数 i A j B k P l Q とすると

iA<kP jB<lQ k P + l Q =m  

である.

■証明

k P l Q として, P( x ) Q( x ) で割ったときの商を S 1 ( x ) 余りを R 1 ( x ) とすると

P( x )= S 1 ( x )Q( x )+ R 1 ( x )    ・・・・・・(1)

と表すことができる.

S 1 ( x ) の次数を, s 1 R 1 ( x ) の次数を r 1 とすると

k P = s 1 + l Q r 1 < l Q  

の関係がある.

また,(1)より

R 1 x =P x S 1 x Q x  ・・・・・・(2)

となる.

次に, Q( x ) R 1 ( x ) で割ったときの商を S 2 ( x ) ,余りを R 2 ( x ) とすると

Q( x )= S 2 ( x ) R 1 ( x )+ R 2 ( x )  ・・・・・・(3)

と表すことができる.

S 2 ( x ) の次数を s 2 R 2 ( x ) の次数を r 2 とすると

l Q = s 2 + r 1 r 2 < r 1  

の関係がある.

また,(3)より

R 2 ( x )=Q( x ) S 2 ( x ) R 1 ( x )  ・・・・・・(4)

と表すことができる.

このような操作を余りの次数が0次,すなわち余りが定数項のみになるまで繰り返す.

R 3 ( x )= R 1 ( x ) S 3 ( x ) R 2 ( x )  ・・・・・・(5-1)

R 4 ( x )= R 2 ( x ) S 4 ( x ) R 3 ( x )  ・・・・・・(5-2)

  ・・・

R n1 ( x )= R n3 ( x ) S n1 ( x ) R n2 ( x )  ・・・・・・(5-n-3)

R n ( x )= R n2 ( x ) S n ( x ) R n1 ( x )  ・・・・・・(5-n-2)

となり

R n (x) の次数 r n は0である( r n =0).よって

R n (x)=C  ・・・・・・(6)

C はある値)

となる.(2)を(4)に代入する.

R 2 x =Q x S 2 x P x S 1 x Q x

= S 2 x P x + 1+ S 1 x S 2 x Q x  ・・・・・・(7)

(5-1)に(2)と(7)を代入する.

R 3 x = P x S 1 x Q x S 3 x S 2 x P x + 1+ S 1 x S 2 x Q x

= 1+ S 2 x S 3 x P x + S 1 x 1+ S 1 x S 2 x S 3 x Q x  ・・・・・・(8)

このような操作を繰り返すと,一般に以下のように表すことができる.

R n x = T n x P x + U n x Q x  ・・・・・・(9)

T n x U n x 多項式

(9)に(6)を代入すると

T n x P x + U n x Q x =C  ・・・・・・(10)  

の形で表される.(10)の両辺を C で割ると

1 C T n x P x + U n x Q x =1

1 C T n x =V x , 1 C U n x =W x とおくと

V( x )P( x )+W( x )Q( x )=1  ・・・・・・(11)

となる.

(11)の両辺に G( x ) F( x ) をかける.

G( x )V( x )P( x ) F( x ) + G( x )W( x )Q( x ) F( x ) = G( x ) F( x )  ・・・・・・(12)  

(12)の左辺の F( x ) F( x )=P( x )Q( x ) を代入する.

G( x )V( x )P( x ) P( x )Q( x ) + G( x )W( x )Q( x ) P( x )Q( x ) = G( x ) F( x )

G( x )V( x ) Q( x ) + G( x )W( x ) P( x ) = G( x ) F( x )  ・・・・・・(13)

G( x )W( x ) P( x ) で割ったときの商を X( x ) , 余りを A( x ) G( x )V( x ) Q( x ) で割ったときの商を Y( x ) , 余りを B( x ) とすると ( A( x ) P( x ) より低次数, B( x ) Q( x ) より低次数となる. )

G( x )W( x )=X( x )P( x )+A( x )  ・・・・・・(14)

G( x ) V ( x )= Y ( x ) Q ( x )+ B ( x )  ・・・・・・(15)

となる.(14)に(15), (13)を代入する.

Y( x )Q( x )+B( x ) Q( x ) + X( x )P( x )+A( x ) P( x ) = G( x ) F( x )

Y x Q x +B x P x + X x P x +A x Q x Q x P x = G x F x  

Y x P x Q x +B x P x +X x P x Q x +A x Q x Q x P x = G x F x  

Y x +X x P x Q x +B x P x +A x Q x Q x P x = G x F x  ・・・・・・(16)

P( x )Q( x ) の次数は k P + l Q =m で分子の次数( G x の次数) n より大きい.よって

Y( x )+X( x )=0  

となる.よって,(16)は

B( x )P( x )+A( x )Q( x ) Q( x )P( x ) = G( x ) F( x )  
G( x ) F( x ) = A( x ) P( x ) + B( x ) Q( x )  ・・・・・・(17)  

となり, G ( x ) F ( x ) は,と P( x ) Q( x ) を分母とする分数 ,いわゆる部分分数に一意に分解できる.

A 1 ( x ) P( x ) + B 1 ( x ) Q( x ) = A 2 ( x ) P( x ) + B 2 ( x ) Q( x )  ・・・・・・(18)  

とおく.(18)を以下のように変形する.

{ A 1 ( x ) A 2 ( x ) } 1 P( x ) +{ B 1 ( x ) B 2 ( x ) } 1 Q( x ) =0  

A 1 ( x ) A 2 ( x )={ B 1 ( x ) B 2 ( x ) } P( x ) Q( x )  ・・・・・・(19)

A 1 ( x ) A 2 ( x ) が整式になるためには

(i) B 1 ( x ) B 2 ( x )=0 A 1 ( x ) A 2 ( x )=0 となる場合

あるいは

(ii) B 1 ( x ) B 2 ( x ) Q( x ) を因数として含む場合

である.

(ii)の場合

B 1 ( x ) B 2 ( x )=Q( x ) B 3 ( x )  

とおくと

A 1 ( x ) A 2 ( x )= B 3 ( x )P( x )  ・・・・・・(20)

となる.(20)の左辺の次数の最大値は, A 1 x の次数,あるいは, A 2 x である.

一方,(20)の右辺の次数の最小値は, P x の次数である.

A 1 x A 2 x の次数は, P x の次数より低い.よって(20)が成り立つことはない.すなわち,(ii)の場合は存在せず,(i)の場合だけである.

したがって

A 1 x = A 2 x B 1 x = B 2 x

となり,部分分数分解は一意に決まる

 

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最終更新日: 2023年7月11日

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