因数分解の公式 (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

${\displaystyle x^3+y^3+z^3-3xyz}$

${\displaystyle x}$ に着目し，降べき順に式を整理する．

${\displaystyle x^3+y^3+z^3-3xyz}$ 

${\displaystyle =x^3-3xyz+y^3+z^3}$ 

${\displaystyle =x^3-3xyz+\left(y+z\right)\left(y^2-yz+z^2\right)}$ 

${\displaystyle f\left(x\right)=x^3-3xyz+\left(y+z\right)\left(y^2-yz+z^2\right)}$

${\displaystyle f\left(x\right)=0}$ となる${\displaystyle x}$ の値は，式の対称性を考えると${\displaystyle x=-\left(y+z\right)}$ が候補にあがる．

${\displaystyle f\left(-\left(y+z\right)\right)={\left\{-\left(y+z\right)\right\}}^3-3yz\left\{-\left(y+z\right)\right\}+\left(y+z\right)\left(y^2-yz+z^2\right)}$ 

${\displaystyle =\left(y+z\right)\left\{-y^2-2yz-z^2+3yz+y^2-yz+z^2\right\}}$ 

${\displaystyle =\left(y+z\right)·0}$ 

${\displaystyle =0}$ 

よって，${\displaystyle f\left(x\right)}$ は${\displaystyle \left(x+y+z\right)}$ を因数に持つ．

したがって

${\displaystyle f\left(x\right)=\left(x+y+z\right)\left\{x^2-\left(y+z\right)x+\left(y^2-yz+z^2\right)\right\}}$ 

${\displaystyle =\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}$ 

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最終更新日： 2014年9月9日