２重根号のはずし方

２重根号をはずすときに用いる式

■式の導出

$\sqrt{a} + \sqrt{b}$ を2乗すると，

${(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2}$

$= {(\sqrt{a})}^{2} + 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + {(\sqrt{b})}^{2}$

$= a + 2 \sqrt{a b} + b$

$= a + b + 2 \sqrt{a b}$

すなわち，

${(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} = a + b + 2 \sqrt{a b}$

となる．次に，両辺の2乗根をとると，

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b + 2 \sqrt{a b}}$

　　(∵ $\sqrt{a} + \sqrt{b} > 0$ )

となり，上式が得られる．

$\sqrt{a + b - 2 \sqrt{a b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ は $\sqrt{a} - \sqrt{b} > 0$ に注意して同様に計算すればよい．

$\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}$ の2重根号をはずすには， $\sqrt{a + b + 2 \sqrt{a b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ と比較をすることにより，

${\begin{cases} a + b = 5 \\ a b = 6 \end{cases}$

を満たす $a$ ， $b$ を求めればよいことがわかる．

$a b = 6$ より， $(a, b) = (1, 6), (2, 3)$ が候補となる．（ $a > b > 0$ の場合を考えている． $a$ ， $b$ が入れ替わっても同じであるため．）

候補の中で， $a + b = 5$ を満たすのは， $(a, b) = (2, 3)$ である．

よって，

$\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

となる．

$\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ の2重根号をはずすには，まず，根号√の前に2がついている必要がある（例えば， $2 \sqrt{3}$ のようになっている必要がある）．

よって，

$\sqrt{3 + \sqrt{5}}$

$= \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{1}}$

$= \sqrt{\frac{2 (3 + \sqrt{5})}{2 ・ 1}}$

$= \sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{5}}{2}}$

のように式を変形する．

$\sqrt{6 + 2 \sqrt{5}}$ $= \sqrt{1 + 5 + 2 \sqrt{5 ・ 1}}$ $= \sqrt{5} + 1$

より，

$\sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{5}}{2}}$

$= \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{2} (\sqrt{5} + 1)}{{(\sqrt{2})}^{2}}$

（分母を有理化する）

$= \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$

以上より，

$\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$

となる．

最終更新日： 2025年4月26日