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相加平均と相乗平均の関係

x>0,y>0,z>0 において,

相加平均とは: x+y 2 , x+y+z 3

相乗平均とは: xy , xyz 3

相加平均と相乗平均の間には

x+y 2 xy   (等号が成り立つのは, x=y  の時である. ) ・・・・・・(1)

x+y+z 3 xyz 3   (等号が成り立つのは, x=y =z  の時である.) ・・・・・・(2)

不等式の関係がある.

■証明

●(1)の証明

x+y 2 2 xy 2

= 1 4 x 2 + 1 2 xy+ 1 4 y 2 xy

= 1 4 x 2 1 2 xy+ 1 4 y 2

= xy 2 2 0

したがって

x+y 2 2 xy 2

x+y 2 xy

【別証明】

(1)の式を以下のように書き直す.

x+y 2 xy

x+y2 xy

x+y2 x y  ・・・・・・(3)

X= x Y= y と置いて(3)を書き換える.

X 2 + Y 2 2XY

X 2 + Y 2 2XY0  ・・・・・・(4)

(4)を証明する.

X 2 + Y 2 2XY = XY 2 0

したがって,(4)が成り立ち,(1)も成り立つことになる.

●(2)の証明

(2)の式を以下のように書き直す.

x+y+z 3 xyz 3

x+y+z3 xyz 3

x+y+z3 x 3 y 3 z 3  ・・・・・・(5)

X= x 3 Y= y 3 Z= z 3 と置いて(5)を書き換える.

X 3 + Y 3 + Z 3 3XYZ

X 3 + Y 3 + Z 3 3XYZ0  ・・・・・・(6)

(6)を証明する.

X 3 + Y 3 + Z 3 3XYZ

因数分解する.因数分解の計算は備考を参照

= X+Y+Z X 2 + Y 2 + Z 2 XYYZZX

= 1 2 X+Y+Z 2 X 2 +2 Y 2 +2 Z 2 2XY2YZ2ZX

= 1 2 X+Y+Z XY 2 + YZ 2 + ZX 2 0

したがって,(6)が成り立ち,(2)も成り立つことになる.

●備考

X 2 + Y 2 + Z 2 XYYZZX X+Y+Z ) X 3 + Y 3 + Z 3 3XYZ ¯ X 3 + X 2 Y+ X 2 Z Y 3 + Z 3 X 2 Y X 2 Z3XYZ X Y 2 + Y 3 + Y 2 Z ¯ Z 3 X 2 Y X 2 ZX Y 2 Y 2 Z3XYZ X Z 2 +Y Z 2 + Z 3 ¯ X 2 Y X 2 ZX Y 2 Y 2 ZX Z 2 Y Z 2 3XYZ X 2 YX Y 2 XYZ ¯ X 2 Z Y 2 ZX Z 2 Y Z 2 2XYZ XYZ Y 2 ZY Z 2 ¯ X 2 ZX Z 2 XYZ X 2 ZXYZX Z 2 ¯ 0

 

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最終更新日: 2024年6月10日

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