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フーリエ級数の周期を無限大にすることにより得られる以下の式
1π∫∞−∞f(v)cosωvdv=G(ω)
1π∫∞−∞f(v)sinωvdv=H(ω)
をフーリエ積分による f(x) 表示という.
後の積分の計算で混乱を避けるために式フーリエ係数の積分変数をx からv に変更する.定積分の積分変数が変わっても定積分の値は変わらない.
a0=12ℓ∫ℓ−ℓf(x)dx=12ℓ∫ℓ−ℓf(v)dv ・・・・・・(1)
an=1ℓ∫ℓ−ℓf(x)cosnπℓxdx=1ℓ∫ℓ−ℓf(v)cosωnvdv ・・・・・・(2)
bn=1ℓ∫ℓ−ℓf(x)sinnπℓxdx=1ℓ∫ℓ−ℓf(v)sinωnvdv ・・・・・・(3)
(nπℓ=ωnとおいている)
n=1,2,3,⋅⋅⋅なので,ω1=πℓ,ω2=πℓ,ω3=πℓ,・・・のようになり,ωnは初項ω1=πℓ ,公差Δω=πℓ の等差数列の第n 項と考えることができる.
周期2ℓ の周期関数をfℓ(x) で表すことにする.fℓ(x) のフーリエ級数は
となる.(4)に(1),(2),(3)を代入すると
となる.Δω=πℓ より1ℓ=Δωπ となり,これを(5)に代入すると
ここで,ℓ→∞ にすると,フーリエ級数がどうなるか検討する.
まず,(7)の右辺の第1項の
limℓ→∞(12π∫ℓ−ℓf(v)dv)Δω
の値をについて考える.
ℓ→∞ のとき,Δω=πℓ より,Δω→0 となる
今回取り扱う関数f(x) は,|limℓ→∞12π∫ℓ−ℓf(v)dv| が有限の値をもつとする.この場合
limℓ→∞(12π∫ℓ−ℓf(v)dv)Δω=0
となる.
次に,(7)の右辺の第2項の
を,定積分の定義式
limn→∞n∑i=1f(ci)Δx=∫baf(x)dx ・・・・・・(9)
ただし,Δx=b−an, Δx(i−1)≦ci≦Δx⋅i
と対比することにより,定積分の式に変換することを考える.
(9)のn→∞ の操作は,n→∞ のときΔx→0 となり,微小要素f(x)Δx の数を無限大にするための操作である.また,n→∞ のとき,c1→a ,cn→b となる.(8)において定積分の定義式(9)の
ci に対応するのはωn ,
Δx に対応するのはΔω ,
n→∞ (Δx→0 の操作)に対応するのは,ℓ→∞ (Δω→0 の操作),
a に対応するのはω1 で,ℓ→∞ のときω1→0 ,
b に対応するのはωn で,ℓ→∞のときωn→∞ ,
である.以上の対応関係より(8)式は
と,積分変数ω の定積分に変換できる.
liml→∞fl(x)=f(x)
1π∫∞−∞f(v)cosωvdv=G(ω)
1π∫∞−∞f(v)sinωvdv=H(ω)
とおくと(7)は
となる.
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最終更新日: 2023年7月3日