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フーリエ積分

フーリエ級数の周期を無限大にすることにより得られる以下の式

f(x)=0{G(ω)cosωx+H(ω)sinωx}dω

1πf(v)cosωvdv=G(ω)

1πf(v)sinωvdv=H(ω)

フーリエ積分による f(x) 表示という.

■導出

後の積分の計算で混乱を避けるために式フーリエ係数の積分変数をx からv に変更する.定積分の積分変数が変わっても定積分の値は変わらない.

a0=12f(x)dx=12f(v)dv ・・・・・・(1)

an=1f(x)cosnπxdx=1f(v)cosωnvdv ・・・・・・(2)

bn=1f(x)sinnπxdx=1f(v)sinωnvdv ・・・・・・(3)

(nπ=ωnとおいている)

n=1,2,3,なので,ω1=πω2=πω3=π,・・・のようになり,ωnは初項ω1=π ,公差Δω=π の等差数列の第n 項と考えることができる.

周期2 の周期関数をf(x) で表すことにする.f(x)フーリエ級数

f(x)a0+n=1(ancosnπx+bnsinnπx) ・・・・・・(4)

となる.(4)に(1),(2),(3)を代入すると

f(x)12f(v)dv+n=1{(1f(v)cosωnvdv)cosωnx+(1f(v)sinωnvdv)sinωnx} ・・・・・・(5)

となる.Δω=π より1=Δωπ となり,これを(5)に代入すると

f(x)Δω2πf(v)dv+n=1{(Δωπf(v)cosωnvdv)cosωnx+(Δωπf(v)sinωnvdv)sinωnx}

f(x)(12πf(v)dv)Δω+n=11π{(f(v)cosωnvdv)cosωnx+(f(v)sinωnvdv)sinωnx}Δω ・・・・・・(6)

ここで, にすると,フーリエ級数がどうなるか検討する.

limf(x)lim[(12πf(v)dv)Δω+n=11π{(f(v)cosωnvdv)cosωnx+(f(v)sinωnvdv)sinωnx}Δω] ・・・・・・(7)

まず,(7)の右辺の第1項の

lim(12πf(v)dv)Δω

の値をについて考える.

のとき,Δω=π より,Δω0 となる

今回取り扱う関数f(x) は,|lim12πf(v)dv| が有限の値をもつとする.この場合

lim(12πf(v)dv)Δω=0

となる.

次に,(7)の右辺の第2項の

limn=11π{(f(v)cosωnvdv)cosωnx+(f(v)sinωnvdv)sinωnx}Δω ・・・・・・(8)

を,定積分の定義式

limnni=1f(ci)Δx=baf(x)dx ・・・・・・(9)

ただし,Δx=ban,Δx(i1)ciΔxi

と対比することにより,定積分の式に変換することを考える.

(9)のn の操作は,n のときΔx0 となり,微小要素f(x)Δx の数を無限大にするための操作である.また,n のとき,c1acnb となる.(8)において定積分の定義式(9)の

ci に対応するのはωn

Δx に対応するのはΔω

n (Δx0 の操作)に対応するのは, (Δω0 の操作),

a に対応するのはω1 で, のときω10

b に対応するのはωn で,のときωn

である.以上の対応関係より(8)式は

limn=11π{(f(v)cosωnvdv)cosωnx+(f(v)sinωnvdv)sinωnx}Δω

=01π{(f(v)cosωvdv)cosωx+(f(v)sinωvdv)sinωx}dω ・・・・・・(10)

と,積分変数ω定積分に変換できる.

limlfl(x)=f(x)

1πf(v)cosωvdv=G(ω)

1πf(v)sinωvdv=H(ω)

とおくと(7)は

f(x)=0{G(ω)cosωx+H(ω)sinωx}dω

となる.

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最終更新日: 2023年7月3日

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