周期2ℓのフーリエ級数の公式
周期2ℓ
の周期関数f(x)
は
f(x)=a02+∞∑n=1(ancosnπxℓ+bnsinnπxL)
a0=1ℓ∫ℓ−ℓf(x)xdx
・・・・・・(1)
an=1ℓ∫ℓ−ℓf(x)cosnπℓxdx (n=1,2,3⋯
) ・・・・・・(2)
bn=1ℓ∫ℓ−ℓf(x)sinnπℓxdx
(
n=1,2,3⋯
) ・・・・・・(3)
のようり三角関数の級数として表される.この級数のことを関数
f(x)
のフーリエ級数といい,
a0
,
an
,
bn
のことをフーリエ係数という.
関数
f(x)
が不連続となる
x
などでは
f(x)
の 値とフーリエ級数の値が一致しない場合があるので,
f(x)
のフーリエ級数を表す場合
f(x)=a02+∞∑n=1(ancosnπxℓ+bnsinnπxℓ)
・・・・・・(4)
のように「=」を使わず,「~」を使い
f(x)∼a02+∞∑n=1(ancosnπxL+bnsinnπxℓ)
・・・・・・(5)
と表すのが一般的である.
■周期2πのフーリエ級数から周期2ℓのフーリエ級数の求め方
周期2πの周期関数f(x)
は
f(x)=f(x+2π)
・・・・・・(6)
の関係がある.(6)にx=πℓt
を代入すると
f(πℓt)=f(πℓt+2π)
f(πℓt)=f(πℓ(t+2ℓ))
となる.
f(πℓt)=g(t)
とおくと,
g(x)=g(x+2ℓ)
となり,
g(x)
は周期2πの周期関数
になる.
上記の性質を利用して,周期2πのフーリエ級数から周期2ℓのフーリエ級数を求める.
周期2πのフーリエ級数の式に
x=πℓt
と置いて変数を
x
から
t
に変換する.
a0+∞∑n=1(ancosnxdx+bnsinnx)=a0+∞∑n=1(ancosnnπℓtdx+bnsinnnπℓtdt)
となる.
フーリエ係数は,周期2πのフーリエ係数を求める積分を
x=πℓt
と置いて置換積分をすることによって求める.
dxdt=πℓより
dx=πℓdt
よって
a0=12π∫π−πf(x)dx=12π∫ℓ−ℓf(πℓt)πℓdt=12ℓ∫ℓ−ℓf(πℓt)dt=12ℓ∫ℓ−ℓg(t)dt
an=12π∫π−πf(x)cosnxdx=12π∫ℓ−ℓf(πℓt)(cosnπℓt)πℓdt
=12ℓ∫ℓ−ℓf(πℓt)cosnnπℓtdt=12ℓ∫ℓ−ℓg(t)cosnnπℓtdt
bn=12π∫π−πf(x)sinnxdx=12π∫ℓ−ℓf(πℓt)(sinnπℓt)πℓdt
=12ℓ∫ℓ−ℓf(πℓt)sinnnπℓtdt=12ℓ∫ℓ−ℓg(t)sinnnπℓtdt
となる.変数を
x
から
t
に,関数
f
を関数
f
に書き換えてもフーリエ係数の値は変わらない.
以上より,周期
2ℓ
のフーリエ級数の式が求まる.
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最終更新日:
2023年7月3日