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周期2ℓ2ℓ の周期関数f(x) は
a0=1ℓ∫ℓ−ℓf(x)xdx ・・・・・・(1)
an=1ℓ∫ℓ−ℓf(x)cosnπℓxdx (n=1,2,3 ⋯ ) ・・・・・・(2)
bn=1ℓ∫ℓ−ℓf(x)sinnπℓxdx ( n=1,2,3 ⋯ ) ・・・・・・(3)
のようり三角関数の級数として表される.この級数のことを関数 f(x) のフーリエ級数といい, a0 , an , bn のことをフーリエ係数という.
関数 f(x) が不連続となる x などでは f(x) の 値とフーリエ級数の値が一致しない場合があるので, f(x) のフーリエ級数を表す場合
のように「=」を使わず,「~」を使い
と表すのが一般的である.
周期2πの周期関数f(x) は
f(x)=f(x+2π) ・・・・・・(6)
の関係がある.(6)にx=πℓt を代入すると
f(πℓt)=f(πℓt+2π)
f(πℓt)=f(πℓ(t+2ℓ))
となる.
f(πℓt)=g(t)
とおくと,
g(x)=g(x+2ℓ)
となり, g(x) は周期2πの周期関数 になる.
上記の性質を利用して,周期2πのフーリエ級数から周期2ℓのフーリエ級数を求める.
周期2πのフーリエ級数の式に x=πℓt と置いて変数を x から t に変換する.
となる.
フーリエ係数は,周期2πのフーリエ係数を求める積分を x=πℓt と置いて置換積分をすることによって求める.
dxdt=πℓより dx=πℓdt
x | −π→π |
t | −ℓ→ℓ |
よって
a0=12π∫π−πf(x)dx=12π∫ℓ−ℓf(πℓt)πℓdt=12ℓ∫ℓ−ℓf(πℓt)dt=12ℓ∫ℓ−ℓg(t)dt
an=12π∫π−πf(x)cosnxdx=12π∫ℓ−ℓf(πℓt)(cosnπℓt)πℓdt
=12ℓ∫ℓ−ℓf(πℓt)cosnnπℓtdt=12ℓ∫ℓ−ℓg(t)cosnnπℓtdt
bn=12π∫π−πf(x)sinnxdx=12π∫ℓ−ℓf(πℓt)(sinnπℓt)πℓdt
=12ℓ∫ℓ−ℓf(πℓt)sinnnπℓtdt=12ℓ∫ℓ−ℓg(t)sinnnπℓtdt
となる.変数を x から t に,関数 f を関数 f に書き換えてもフーリエ係数の値は変わらない.
以上より,周期 2ℓ のフーリエ級数の式が求まる.
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最終更新日: 2023年7月3日