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周期2ℓのフーリエ級数の公式

周期22周期関数f(x)

f(x)=a02+n=1(ancosnπx+bnsinnπxL)

a0=1f(x)xdx  ・・・・・・(1)  

an=1f(x)cosnπxdx    (n=1,2,3 ) ・・・・・・(2)

bn=1f(x)sinnπxdx      ( n=1,2,3 ) ・・・・・・(3)

のようり三角関数級数として表される.この級数のことを関数 f(x)フーリエ級数といい, a0anbn のことをフーリエ係数という.

関数 f(x) が不連続となる x などでは f(x) の 値とフーリエ級数の値が一致しない場合があるので, f(x) のフーリエ級数を表す場合

f(x)=a02+n=1(ancosnπx+bnsinnπx)  ・・・・・・(4)

 のように「=」を使わず,「~」を使い

f(x)a02+n=1(ancosnπxL+bnsinnπx)  ・・・・・・(5)

と表すのが一般的である.

■周期2πのフーリエ級数から周期2のフーリエ級数の求め方

周期2πの周期関数f(x)

f(x)=f(x+2π)  ・・・・・・(6)

の関係がある.(6)にx=πt を代入すると

f(πt)=f(πt+2π)  

f(πt)=f(π(t+2))  

となる.

f(πt)=g(t)  

とおくと,

g(x)=g(x+2)  

となり, g(x) は周期2πの周期関数 になる.

上記の性質を利用して,周期2πのフーリエ級数から周期2のフーリエ級数を求める.

周期2πのフーリエ級数の式に x=πt と置いて変数を x から t に変換する.

a0+n=1(ancosnxdx+bnsinnx)=a0+n=1(ancosnnπtdx+bnsinnnπtdt)

となる.

フーリエ係数は,周期2πのフーリエ係数を求める積分を x=πt と置いて置換積分をすることによって求める.

dxdt=πより dx=πdt

x ππ
t

よって

a0=12πππf(x)dx=12πf(πt)πdt=12f(πt)dt=12g(t)dt

an=12πππf(x)cosnxdx=12πf(πt)(cosnπt)πdt  

=12f(πt)cosnnπtdt=12g(t)cosnnπtdt  

bn=12πππf(x)sinnxdx=12πf(πt)(sinnπt)πdt  

=12f(πt)sinnnπtdt=12g(t)sinnnπtdt  

となる.変数を x から t に,関数 f を関数 f に書き換えてもフーリエ係数の値は変わらない.

以上より,周期 2 のフーリエ級数の式が求まる.

 

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最終更新日: 2023年7月3日

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